Question

【題目】（1）如圖1，已知⊙O的半徑是4，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC=．

①求∠ABC的度數(shù)；

②已知AP是⊙O的切線，且AP=4，連接PC．判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）如圖2，已知ABCD的頂點(diǎn)A、B、D在⊙O上，頂點(diǎn)C在⊙O內(nèi)，延長(zhǎng)BC交⊙O于點(diǎn)E，連接DE．求證：DE=DC．

Answer 1

【答案】（1）45°；②直線PC與⊙O相切．理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（1）①連結(jié)OA、OC，如圖1，利用勾股定理的逆定理證明△OCA為等腰直角三角形，∠AOC=90°，然后根據(jù)圓周角定理易得∠ABC=45°；

②先根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OAP=90°，再證四邊形APCO為平行四邊形，加上∠AOC=90°，則可判斷四邊形AOCP為矩形，所以∠PCO=90°，然后根據(jù)切線得判斷定理得到PC為⊙O的切線；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，AD∥BC，再由平行線的性質(zhì)得∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠E+∠A=180°，易得∠DCE=∠E，則根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到DC=DE．

試題解析：（1）解：①連結(jié)OA、OC，如圖1，

∵OA=OC=4，AC=4，

∴OA2+OC2=AC2，

∴△OCA為等腰直角三角形，∠AOC=90°，

∴∠ABC=∠AOC=45°；

②直線PC與⊙O相切．理由如下：

∵AP是⊙O的切線，

∴∠OAP=90°，

而∠AOC=90°，

∴AP∥OC，

而AP=OC=4，

∴四邊形APCO為平行四邊形，

∵∠AOC=90°，

∴四邊形AOCP為矩形，

∴∠PCO=90°，

∴PC⊥OC，

∴PC為⊙O的切線；

（2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，

∵∠E+∠A=180°，

∴∠E=∠B，

∴∠DCE=∠E，

∴DC=DE．