Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O交x軸于A、B兩點，直線FA⊥x軸于點A，點D在FA上，且DO平行于⊙O的弦MB，連DM并延長交x軸于點C．
（1）判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）設(shè)點D的坐標(biāo)為（-2，4），①求MC的長；②若動點P從點A出發(fā)向點D勻速運動，速度是每秒1個單位長；同時點Q從點D出發(fā)向點C勻速運動，速度是每秒2個單位長；其中一個點到達(dá)終點時運動即結(jié)束．連接PQ交OD于點H，當(dāng)△PDH為直角三角形時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）連OM，根據(jù)全等三角形的判定方法得到△DAO≌△DMO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到OM⊥DC，根據(jù)切線的判定定理就可以判定DC切⊙O于M；
（2）①根據(jù)已知條件容易證明△OMC∽△DAC，根據(jù)相似比即可求得MC的長；
②分兩種情況：當(dāng)∠PHD=90°時；當(dāng)∠DPH=90°時；

解答：證明：（1）如圖，連OM．
∵DO∥MB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
在△DAO與△DMO中，

AO=OM ∠2=∠4 DO=DO

，
∴△DAO≌△DMO．
∴∠OMD=∠OAD．
∵FA⊥x軸于點A，
∴∠OAD=90°．
∴∠OMD=90°．
即OM⊥DC．
∴DC切⊙O于M．（4分）

解：（2）
①∵D（-2，4），
∴OA=2（即⊙O的半徑），AD=4．
由（1）知DM=AD=4，
∵△OMC∽△DAC，
∴

MC

AC

=

OM

AD

=

2

4

=

1

2

．
∴AC=2MC．
在Rt△ACD中，CD=MC+4，
∵（2MC）²+4²=（MC+4）²
∴MC=

8

3

或MC=0（不合，舍去），
∴MC的長為

8

3

．（8分）

②由①知CD=

20

3

．
當(dāng)∠PHD=90°時，由切線長性質(zhì)定理知DO平分∠PDQ，
∴PD=QD．
∴4-t=2t，t=

4

3

（符合題意）．
∴P（-2，

4

3

）．（10分）
當(dāng)∠DPH=90°時，PQ∥AC，
∴△DPQ∽△DAC．
∴

DP

DA

=

DQ

DC

．
即

4-t

4

=

2t

20 3

，t=

20

11

（符合題意）．
∴P（-2，

20

11

）．（12分）

點評：此題把全等三角形，相似三角形，平行線等知識和圓結(jié)合起來，綜合性比較強(qiáng)，要求學(xué)生有較高的分析問題、解決問題的能力．