Question

將兩張寬度相等的矩形紙片疊放在一起得到如圖所示的四邊形ABCD．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如果兩張矩形紙片的長(zhǎng)都是8，寬都是2．那么菱形ABCD的周長(zhǎng)是否存在最大值或最小值？如果存在，請(qǐng)求出來；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形的性質(zhì)可判定四邊形ABCD是平行四邊形，作平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，DB，又DE=BF，所以Rt△DAF≌Rt△ABE，得AD=AB，所以四邊形ABCD為菱形；
（2）由題意可判斷，當(dāng)∠DAB=90°時(shí)，菱形ABCD為正方形，周長(zhǎng)最小值為8．當(dāng)AC為矩形紙片的對(duì)角線時(shí)，周長(zhǎng)最大值為17．
解答：（1）證明：如圖，∵AD∥BC，DC∥AB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
分別過點(diǎn)A、D作AE⊥BC于E，DF⊥AB于F．
∵兩張矩形紙片的寬度相等，
∴AE=DF，
又∵AE•BC=DF•AB=S_?ABCD，
∴BC=AB，
∴?ABCD是菱形；

（2）解：存在最小值和最大值．（7分）
①當(dāng)∠DAB=90°時(shí)，菱形ABCD為正方形，周長(zhǎng)最小值為8；（8分）
②當(dāng)AC為矩形紙片的對(duì)角線時(shí)，設(shè)AB=x．如圖，
在Rt△BCG中，BC²=CG²+BG²，
即x²=（8-x）²+2²，x=．
∴周長(zhǎng)最大值為×4=17．（9分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定，及運(yùn)用矩形，菱形的性質(zhì)進(jìn)行綜合運(yùn)算的能力．