(1999•哈爾濱)已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)A(4,0)為圓心,AO為半徑的圓交x軸于點(diǎn)B.設(shè)M為x軸上方的圓長交y軸于點(diǎn)D.
(1)當(dāng)點(diǎn)P在弧OM上運(yùn)動時,設(shè)PC=x,=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到某一位置時,恰使OB=3OD,求此時AC所在直線的解析式.

【答案】分析:(1)延長PA交⊙A于E,連接OE,根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì),構(gòu)造相似比,可求一次函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知A點(diǎn)坐標(biāo),再運(yùn)用勾股定理求OC的長,從而可求C點(diǎn)坐標(biāo),利用“兩點(diǎn)法”求一次函數(shù)解析式.
解答:解:(1)延長PA交⊙A于E,連接OE,
∵AO=AE,
∴∠BOE=∠E.
又∵∠PBO=∠E,
∴∠BOE=∠PBO,
∴DB∥OE,

又∵,PC=x,PE=2OA=8,CE=CP+PE=x+8
,即y=x+1(2分)
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)M時,連接AM并延長交y軸于點(diǎn)F,設(shè)∠OAM=n°,
∴n=60,即∠OAM=60°.
∵OC⊥OB,∴AF=2OA=8,∴MF=4,∴x≤4,
即0<x≤4.

(2)當(dāng)P運(yùn)動到恰使OB=3OD時,即OD=OB=


在Rt△AOC中,OA2+OC2=AC2,
(1分)
整理的x2+7x-8=0
∴x1=1,x2=-8(舍去)
∴OC=3
∴C(0,3)(2分)
設(shè)過A、C兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b,

∴直線AC的解析式為y=-(2分)
點(diǎn)評:本題考查了相似三角形的性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法.
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(1)求經(jīng)過O1、C、O2三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)設(shè)直線y=kx+m與(1)中的拋物線交于M、N兩點(diǎn),若線段MN被y軸平分,求k的值;
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上.當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為何值時,四邊形MDNC是矩形?

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(1)當(dāng)點(diǎn)P在弧OM上運(yùn)動時,設(shè)PC=x,=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍;
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