精英家教網(wǎng)如圖,已知AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點(diǎn),∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,交⊙O的切線BE于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若DF=3,DE=2
①求
BEAD
值;
②求圖中陰影部分的面積.
分析:(1)作輔助線,連接OD.根據(jù)切線的判定定理,只需證DF⊥OD即可;
(2)①連接BD.根據(jù)BE、DF兩切線的性質(zhì)證明△BDE∽△ABE;又由角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的兩個(gè)底角相等求得△ABE∽△AFD,所以△BDE∽△AFD;最后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得
BE
AD
=
DE
DF
=
2
3
;
②連接OC,交AD于G.由①,設(shè)BE=2x,則AD=3x.利用①中的△BDE∽△ABE的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求得
BE
AE
=
DE
BE
,據(jù)此列出關(guān)于x的方程,解方程求得x=2,繼而可以求出AD=3x=6,BE=2x=4,AE=AD+DE=8;然后由勾股定理知AB=4
3
,在直角三角形ABE中求得∠1=30°;再由三角形的角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及邊角關(guān)系求得AG=DG,所以△ACG≌△DOG;最后根據(jù)兩個(gè)全等三角形的面積相等的性質(zhì)求扇形的面積即可.
解答:精英家教網(wǎng)證明:(1)連接OD
∵OA=OD,∴∠1=∠2
∵∠1=∠3,∴∠2=∠3
∴OD∥AF
∵DF⊥AF,∴OD⊥DF
∴DF是⊙O的切線
(2)①解:連接BD
∵直徑AB
∴∠ADB=90°
∵圓O與BE相切
∴∠ABE=90°
∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°
∴∠DAB=∠DBE
∴∠DAB=∠FAD
∵∠AFD=∠BDE=90°
∴△BDE∽△AFD
BE
AD
=
DE
DF
=
2
3

(2)②解:連接OC,交AD于G
由①,設(shè)BE=2x,則AD=3x
∵△BDE∽△ABE∴
BE
AE
=
DE
BE

2x
3x+2
=
2
2x

解得:x1=2,x2=-
1
2
(不合題意,舍去)
∴AD=3x=6,BE=2x=4,AE=AD+DE=8
∴AB=
AE2-BE2
=
82-42
=4
3
,∠1=30°
∴∠2=∠3=∠1=30°,∴∠COD=2∠3=60°
∴∠OGD=90°=∠AGC,∴AG=DG
∴△ACG≌△DOG,∴S△AGC=S△DGO
∴S陰影=S扇形COD=
60
360
π?OA2=
1
6
π×(2
3
)2=2π
點(diǎn)評(píng):本題考查的是切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及扇形面積的計(jì)算.比較復(fù)雜,解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線,利用數(shù)形結(jié)合解答.
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(2)求扇形BOC的面積.

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EB
的中點(diǎn),則下列結(jié)論不成立的是(  )

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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求證:PA為⊙O的切線.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知AB是圓O的直徑,∠DAB的平分線AC交圓O與點(diǎn)C,作CD⊥AD,垂足為點(diǎn)D,直線CD與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.
(1)求證:直線CD為圓O的切線.
(2)當(dāng)AB=2BE,DE=2
3
時(shí),求AD的長(zhǎng).

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