Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，且AB＝AC，點D在⊙O上，AD⊥AB于點A， AD與 BC交于點E，F在DA的延長線上，且AF＝AE．

(1)求證：BF是⊙O的切線；

(2)若AD＝4，，求BC的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2．

【解析】

（1）連接BD，因AD⊥AB，所以BD是直徑．證明BF⊥DB即可．
（2）作AG⊥BC于點G．由（1）中結論∠D=∠2=∠3，分別把這三個角轉化到直角三角形中，根據cos∠ABF＝，求相關線段的長．

解：（1）如圖，連接BD．
∵AD⊥AB，D在圓O上，
∴∠DAB=90°，
∴DB是⊙O的直徑．
∴∠1+∠2+∠D=90°．
又∵AE=AF，
∴BE=BF，∠2=∠3．
∵AB=AC，
∴∠D=∠C=∠2=∠3．
∴∠1+∠2+∠3=90°．
即OB⊥BF于B．
∴直線BF是⊙O的切線．
（2）作AG⊥BC于點G．
∵∠D=∠2=∠3，
∴cosD＝cos∠3＝．
在Rt△ABD中，∠DAB=90°，AD=4，cosD＝，
∴BD＝ ＝5，AB＝＝3．
在Rt△ABG中，∠AGB=90°，AB=3，cos∠2＝，
∴BG＝ABcos∠2＝．
∵AB=AC，
∴BC＝2BG＝．