3.如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E是AB的中點.
(1)求證:△ADC∽△ACB;
(2)求證:CE∥AD;
(3)若AB=6,AD=4,求$\frac{AF}{AC}$的值.

分析 (1)根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得,根據(jù)比例的性質(zhì),可得答案;
(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì),可得CE與AE的關(guān)系,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),可得∠EAC=∠ECA,根據(jù)角平分線的定義,可得∠CAD=∠CAB,根據(jù)平行線的判定,可得答案;
(3)由(2)知CE∥AD,進而得到△AFD∽△CFE,AD:CE=AF:CF;求得CE=3,AD=4,即可解決問題.

解答 證明:(1)∵AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠CAB.
∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB;

(2)∵E是AB的中點,
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE,
∴∠EAC=∠ECA.
∵AC平分∠DAB,
∴∠CAD=∠CAB,
∴∠CAD=∠ECA,
∴CE∥AD;

(3)解:由(2)知CE∥AD;
∴△AFD∽△CFE,
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CE}$AD:CE=AF:CF;
∵CE=$\frac{1}{2}$AB=3,AD=4,
$\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CE}=\frac{4}{3}$,
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{4}{7}$.

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),(1)利用了相似三角形的判定與性質(zhì),比例的性質(zhì);(2)利用了直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),平行線的判定,牢固掌握直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

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