Question

【題目】已知：⊙O上兩個定點A，B和兩個動點C，D，AC與BD交于點E．

（1）如圖1，求證：EAEC=EBED
（2）如圖2，若 ， AD是⊙O的直徑，求證：ADAC=2BDBC
（3）如圖3，若AC⊥BD，點O到AD的距離為2，求BC的長

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，

∴△AED∽△BEC，

∴=，

∴EAEC=EBED

（2）

證明：如圖2，

連接CD，OB交AC于點F

∵B是弧AC的中點，

∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．

又∵AD為⊙O直徑，

∴∠ABC=90°，又∠CFB=90°．

∴△CBF∽△ABD．

∴，故CFAD=BDBC．

∴ACAD=2BDBC

（3）

解：如圖3，連接AO并延長交⊙O于F，連接DF，

∴AF為⊙O的直徑，

∴∠ADF=90°，

過O作OH⊥AD于H，

∴AH=DH，OH∥DF，

∵AO=OF，

∴DF=2OH=4，

∵AC⊥BD，

∴∠AEB=∠ADF=90°，

∵∠ABD=∠F，

∴△ABE∽△ADF，

∴∠1=∠2，

∴

∴BC=DF=4．

【解析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到角相等，從而證得三角形相似，于是得到結論；
（2）如圖2，連接CD，OB交AC于點F由B是弧AC的中點得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．證得△CBF∽△ABD．即可得到結論；
（3）如圖3，連接AO并延長交⊙O于F，連接DF得到AF為⊙O的直徑于是得到∠ADF=90°，過O作OH⊥AD于H，根據(jù)三角形的中位線定理得到DF=2OH=4，通過△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是結論可得．