【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D.
(1)AD與BD相等嗎?為什么?
(2)若AB=10,AC=6,求CD的長(zhǎng);
(3)若P為⊙O上異于A、B、C、D的點(diǎn),試探究PA、PD、PB之間的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)AD=BD,理由見解析;
(2)CD=;
(3)①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí), PA+PB=PD;②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí), PA﹣PB=PD.③當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí), PB﹣PA=PD.
【解析】試題分析:(1)結(jié)論:AD=BD.只要證明即可.
(2)如圖2中,作DF⊥CA,垂足F在CA的延長(zhǎng)線上,作DG⊥CB于點(diǎn)G,連接DA,DB.由Rt△AFD≌Rt△BGD(HL),推出AF=BG,由Rt△CDF≌Rt△CDG(HL),推出CF=CG,由△CDF是等腰直角三角形,得CD=CF,求出CF即可解決問(wèn)題.
(3)分三種情形討論①如圖3中,當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí),結(jié)論:PA+PB=PD;②如圖4中,當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí),結(jié)論:PA-PB=PD;③如圖5中,當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí),結(jié)論:PB-PA=PD.
試題解析:(1)結(jié)論:AD=BD.
理由:如圖1中,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG,
,
∴DA=DB.
(2)如圖2中,作DF⊥CA,垂足F在CA的延長(zhǎng)線上,作DG⊥CB于點(diǎn)G,連接DA,DB.
∵∠AFD=∠BGD=90°,
在Rt
∴Rt△AFD≌Rt△BGD(HL),
∴AF=BG.
同理:Rt△CDF≌Rt△CDG(HL),
∴CF=CG.
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∵AC=6,AB=10,
∴BC==8,
∴6+AF=8﹣AF,
∴AF=1,
∴CF=7,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=45°,
∵△CDF是等腰直角三角形,
∴CD=,CF=7.
(3)①如圖3中,當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí),結(jié)論:PA+PB=PD.
理由:將△PDB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△FAD,
∵∠PAB+∠PBD=180°,∠FAD=∠PBD,
∴∠FAD+∠PAD=180°,
∴P、A、F共線,
∵∠F=∠DPB=∠BAD=45°,
∴△PDF是等腰直角三角形,
∴PF=PD,
∵PB=AF,
∴PF=PA+AF=PA+PB=PD.,
∴PA+PB=PD.
②如圖4中,當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí),結(jié)論:PA﹣PB=PD.
理由:在AP上取一點(diǎn)F,使得AF=PB,
在△FAD和△PBD中, ,
∴△FAD≌△PBD,
∴DF=DP,∠ADF=∠BDP,
∠FDP=∠ADB=90°,
∴△FDP是等腰直角三角形,
∴PF=PD,
∴PA﹣PB=PA﹣AF=PF=PD,
∴PA﹣PB=PD.
③如圖5中,當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí),結(jié)論:PB﹣PA=PD.(證明方法類似②).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn),AE=m,將△ABE沿BE折疊后得到△GBE.延長(zhǎng)BG交直線CD于點(diǎn)F.
(1)若∠ABE:∠BFC=n,則n= ______ ;
(2)當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí),求線段GF的長(zhǎng);
(3)若限定F僅在線段CD上(含端點(diǎn))運(yùn)動(dòng),求m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△ADE,連接BD,CE交于點(diǎn)F.
(1)求證:△AEC≌△ADB;
(2)若AB=2,∠BAC=45°,當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí),求BF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,MN為⊙O的直徑,A、B是⊙O上的兩點(diǎn),過(guò)A作AC⊥MN于點(diǎn)C,過(guò)B作BD⊥MN于點(diǎn)D,P為DC上的任意一點(diǎn),若MN=20,AC=8,BD=6,則PA+PB的最小值是____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列計(jì)算中,正確的是( )
A. a2.a3=a5 B. a6÷a2=a3 C. (-2x2)3=-6x6 D. (a+2)2=a2+4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的弦,AB=2,點(diǎn)C在上運(yùn)動(dòng),且∠ACB=30°.
(1)求⊙O的半徑;
(2)設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為x,圖中陰影部分的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系,并寫出自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四邊形ABCD中,點(diǎn)E為AB邊上的一點(diǎn),點(diǎn)F為對(duì)角線BD上的一點(diǎn),且EF⊥AB.
(1)若四邊形ABCD為正方形.
①如圖①,請(qǐng)直接寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系______________;
②將△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②所示的位置,連接AE,DF,猜想AE與DF的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由;
(2)如圖③,若四邊形ABCD為矩形,BC=mAB,其他條件都不變,將△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)得到△E′BF′,連接AE′,DF′,請(qǐng)?jiān)趫D③中畫出草圖,并求出AE′與DF′的數(shù)量關(guān)系.
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