Question

（2011•清流縣質(zhì)檢）星期天，小明在解答下列題目時卡殼了．
題目1：如圖①，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，O為△ABC內(nèi)的一點，OC=1，OA=

3

，OB=

5

．求∠AOC的度數(shù)．
小明去請教小穎正在解答下列題目．
題目2：如圖②，點O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，將△BCO繞C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，連接OD．
（1）試判斷△COD的形狀，并說明理由；
（2）當(dāng)∠COB=150°時，試判斷△AOD的形狀，并寫出OA、OB、OC三者之間的等量關(guān)系式．
小穎說：“等等，等我做完了，我們一起來看．”小明看完，小穎做完后高興地說：“哈哈，太好了，我會了．”聰明的同學(xué)，你能先解答完題目2，再根據(jù)解答所得到的啟迪來完成題目1嗎？寫出你的解答過程．

Answer 1

分析：題目2：（1）根據(jù)有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形直接進行判定即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到△BOC≌△ADC，從而求出∠ADC的度數(shù)，OB=AD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ODC=60°，OC=OD，即∠ADO=90°，即可以判斷△AOD的形狀，及OA、OB、OC三者之間的等量關(guān)系式．
題目1：根據(jù)題目2的方法，將△BCO繞C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC，連接OD，可得到△BOC≌△ADC，即∠OC=CD=1，OB=AD=

5

，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠COD的度數(shù)；
最后利用勾股定理的逆定理證明△AOD是直角三角形，易得∠AOC的度數(shù)．

解答：解：（1）證明：∵CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等邊三角形；
（2）解：當(dāng)∠BOC=150°時，△AOD是直角三角形．
∵△BCO繞C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，OB=AD，
又∵△COD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，OC=OD
∴∠ADO=90°，
即△AOD是直角三角形；
∴OA²=OD²+AD²，
∴OA²=OC²+AO²；
解題目1：
解：將△BCO繞C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC，連接OD，如圖，
∴△BOC≌△ADC，
∴OC=CD=1，OB=AD=

5

，
∵∠OCD=90°且OC=CD=1，
∴∠COD=45°，OD=

2

．
又∵OA=

3

，
∴AD²=OA²+OD²
∴∠AOD=90°
∴∠AOC=∠COD+∠AOD=135°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識．注意此題有一定的開放性，要找到變化中的不變量才能有效解決問題．