如圖,已知正方形ABCD中,對角線AC、BD交于O點(diǎn),過O點(diǎn)作OE⊥OF分別交DC于E,交BC于F,∠FEC的角平分線EP交直線AC于P
(1)求證:OE=OF;
(2)寫出線段EF、PC、BC之間的一個等量關(guān)系式,并證明你的結(jié)論.
分析:(1)若要證明OE=OF,則只要證明OE所在△BOF全等于OF所在△COE即可;
(2)線段EF、PC、BC之間的一個等量關(guān)系式是:EF+
2
CP=BC,找到跟三條線段有關(guān)系的線段OE、OP、OC,利用(1)中的三角形全等條件和等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理證明即可.
解答:(1)證明:∵正方形ABCD中,對角線AC、BD交于O點(diǎn),
∴AC⊥BD,
∴∠BOC=∠DOC=90°,
∴∠BOF+∠FOP=90°,
∵OE⊥OF,
∴∠FOE=90°,
∴∠EOC+∠FOP=90°
∴∠BOF=∠EOC,
又∵OB=OC,∠OBF=∠DCE=45°,
∴△BOF≌△COE,
∴OE=OF;

(2)EF+
2
CP=BC,
證明:∵△BOF≌△COE,
∴OE=OF,∠OEF=∠OFE=45°.
∵∠FEC的角平分線EP交直線AC于P,
∴∠FEP=∠CEP.
∴∠OEP=∠OPE.
∴OE=OP.
∴EF=
2
OE=
2
OP,
∵BC=
2
OC=
2
(OP+PC),
∴EF+
2
CP=BC.
點(diǎn)評:本題考查了正方形的性質(zhì),利用正方形的特殊性質(zhì)求解.結(jié)合了三角形全等的問題,并且涉及到探究性的問題,屬于綜合性比較強(qiáng)的問題.要求解此類問題就要對基本的知識點(diǎn)有很清楚的認(rèn)識,熟練掌握.
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(1)請畫出旋轉(zhuǎn)中心G (保留畫圖痕跡),并連接GF,GE;
(2)若正方形的邊長為2a,當(dāng)CE=
a
a
時,S△FGE=S△FBE;當(dāng)CE=
2a+
2
a
2
或EC=
2a-
2
a
2
2a+
2
a
2
或EC=
2a-
2
a
2
 時,S△FGE=3S△FBE

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(1)試說明OE=OF;
(2)當(dāng)AE=AB時,過點(diǎn)E作EH⊥BE交AD邊于H.若該正方形的邊長為1,求AH的長.

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