Question

【題目】一次函數(shù)分別與軸、軸交于點、.頂點為的拋物線經(jīng)過點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點為第一象限拋物線上一動點.設(shè)點的橫坐標為，的面積為.當為何值時，的值最大，并求的最大值；

（3）在（2）的結(jié)論下，若點在軸上，為直角三角形，請直接寫出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，的值最大，最大值為；（3）、、或

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為，代入點的坐標即可求解；

（2）連接，可得點，根據(jù)一次函數(shù)得出點、的坐標，然后利用三角形面積公式得出的表達式，利用二次函數(shù)的表達式即可求解；

（3）①當為直角邊時，過點和點做垂線交軸于點和點，過點的垂線交軸于點，得出，再利用等腰直角三角形和坐標即可求解；②當為斜邊時，設(shè)的中點為，以為圓心為直徑做圓于軸于點和點，過點作軸，先得出和的值，再求出的值即可求解.

解：（1）一次函數(shù)與軸交于點，則的坐標為.

拋物線的頂點為，

設(shè)拋物線解析式為.

拋物線經(jīng)過點，

.

.

拋物線解析式為；

（2）解法一：連接.

點為第一象限拋物線上一動點.點的橫坐標為，

.

一次函數(shù)與軸交于點.則，

的坐標為，

.

，

，

.

.

當時，的值最大，最大值為；

解法二：作軸，交于點.

的坐標為，.

點為第一象限拋物線上一動點.點的橫坐標為，

，.

.

.

當時，的值最大，最大值為；

解法三：作軸，交于點.

一次函數(shù)與軸交于點.則，

點為第一象限拋物線上一動點.點的橫坐標為，

.

把代入，解得，

.

.

當時，的值最大，最大值為；

解法四：構(gòu)造矩形.（或構(gòu)造梯形）

一次函數(shù)與軸交于點.則，

的坐標為，.

點為第一象限拋物線上一動點.點的橫坐標為，

設(shè)點的縱坐標為，，

，，，，，.

.

當時，的值最大，最大值為；

（3）由（2）易得點的坐標為，

①當為直角邊時，過點和點做垂線交軸于點和點，過點的垂線交軸于點，如下圖所示：

由點和點的坐標可知：

∴

∴

∴點的坐標為

由題可知：

∴

∴點的坐標為；

②當為斜邊時，設(shè)的中點為，以為圓心為直徑做圓于軸于點和點，過點作軸，如下圖所示：

由點和點的坐標可得點的坐標是

∴，

∴

∴點的坐標為，點的坐標為

根據(jù)圓周角定理即可知道

∴點和點符合要求

∴綜上所述點的坐標為、、或.