【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C為AB延長線上一點,過點C作⊙O的切線CD,D為切點,點F是弧AD的中點,連接OF并延長交CD于點E,連接BD,BF.
(1)求證:BD∥OE;
(2)若OE=3,tanC=,求⊙O的半徑.
【答案】(1)證明見解析;(2)⊙O的半徑的長3.
【解析】
(1)如圖,由圓的半徑相等可得∠1=∠3,再由圓周角定理可得∠1=∠2,從而可得∠2=∠3,繼而可得結(jié)論;
(2)連接OD,如圖,根據(jù)切線的性質(zhì)可得OD⊥CD,根據(jù)tanC=,設(shè)OD=3k,CD=4k,繼而可得BC=2k,由平行線分線段成比例定理可得 ,繼而可求得DE=6k,在Rt△ODE中,利用勾股定理求出k的值即可得答案.
(1)∵OB=OF,
∴∠1=∠3,
∵點F是的中點,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∴BD∥OE;
(2)連接OD,如圖,
∵直線CD是⊙O的切線,
∴OD⊥CD,
在Rt△OCD中,∵tanC=,
∴設(shè)OD=3k,CD=4k.
∴OC=5k,BO=3k,
∴BC=2k.
∵BD∥OE,
∴,
即,
∴DE=6k,
在Rt△ODE中,∵OE2=OD2+DE2,
∴(3)2=(3k)2+(6k)2,
解得k=,
∴OB=3,
即⊙O的半徑的長3.
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【題目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B、C重合),以AD為直角邊在AD右側(cè)作等腰直角三角形ADE,且∠DAE=90°,連接CE.
(1)如圖①,當(dāng)點D在線段BC上時:
①BC與CE的位置關(guān)系為 ;
②BC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為 .
(2)如圖②,當(dāng)點D在線段CB的延長線上時,結(jié)論①,②是否仍然成立?若不成立,請你寫出正確結(jié)論,并給予證明.
(3)如圖③,當(dāng)點D在線段BC的延長線上時,BC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為 .
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【題目】若關(guān)于x的一元二次方程(m+1)x2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根,
(1)求m的取值范圍;
(2)若x=1是方程的一個根,求m的值和另一個根.
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【題目】如圖,點A1的坐標(biāo)為(2,0),過點A1作x軸的垂線交直線l:y=x于點B1,以原點O為圓心,OB1的長為半徑畫弧交x軸正半軸于點A2;再過點A2作x軸的垂線交直線l于點B2,以原點O為圓心,以OB2的長為半徑畫弧交x軸正半軸于點A3;….按此作法進(jìn)行下去,則的長是_____.
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【題目】如圖,AB 為⊙O 的直徑,C 為⊙O 上一點,AD⊥CE 于點 D,AC 平分∠DAB.
(1) 求證:直線 CE 是⊙O 的切線;
(2) 若 AB=10,CD=4,求 BC 的長.
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【題目】如圖是小李上學(xué)用的自行車,型號是24英吋(車輪的直徑為24英吋,約60厘米),為了防止在下雨天騎車時的泥水濺到身上,他想在自行車兩輪的陰影部分兩側(cè)裝上擋水的鐵皮(兩個陰影部分分別是以C、D為圓心的兩個扇形),量出四邊形ABCD中∠DAB=125°、∠ABC=115°,那么預(yù)計需要的鐵皮面積約是( 。
A. 942平方厘米 B. 1884平方厘米
C. 3768平方厘米 D. 4000平方厘米
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【題目】如圖所示,某幼兒園為了加強(qiáng)安全管理,決定將園內(nèi)的滑滑板的傾斜角由45°降為30°,已知原滑滑板AB的長為5米,點D、B、C在同一水平地面上.若滑滑板的正前方能有3米長的空地就能保證安全,原滑滑板的前方有6米長的空地,像這樣改造是否可行?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732,≈2.449)
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【題目】如圖是一個幾何體的三視圖.
(1)寫出該幾何體的名稱,并根據(jù)所示數(shù)據(jù)計算這個幾何體的表面積;
(2)如果一只螞蟻要從這個幾何體中的點B出發(fā),沿表面爬到AC的中點D,請你求出這個線路的最短路程.
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【題目】(12分)閱讀理解:
如圖①,如果四邊形ABCD滿足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我們把這樣的四邊形叫做“完美箏形”.
將一張如圖①所示的“完美箏形”紙片ABCD先折疊成如圖②所示形狀,再展開得到圖③,其中CE,CF為折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,點B′為點B的對應(yīng)點,點D′為點D的對應(yīng)點,連接EB′,FD′相交于點O.
簡單應(yīng)用:
(1)在平行四邊形、矩形、菱形、正方形四種圖形中,一定為“完美箏形”的是 ;
(2)當(dāng)圖③中的∠BCD=120°時,∠AEB′= °;
(3)當(dāng)圖②中的四邊形AECF為菱形時,對應(yīng)圖③中的“完美箏形”有 個(包含四邊形ABCD).
拓展提升:
(4)當(dāng)圖③中的∠BCD=90°時,連接AB′,請?zhí)角?/span>∠AB′E的度數(shù),并說明理由.
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