Question

【題目】在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中點(diǎn)，一塊足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)E重合，將三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB，BC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M，N，設(shè)∠AEM=α（0°＜α＜90°），給出下列四個(gè)結(jié)論： ①AM=CN；
②∠AME=∠BNE；
③BN﹣AM=2；
④S△EMN= ．
上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①如圖，
在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中點(diǎn)，
作EF⊥BC于點(diǎn)F，則有AB=AE=EF=FC，
∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，
∴∠AEM=∠FEN，
在Rt△AME和Rt△FNE中，
，
∴Rt△AME≌Rt△FNE，
∴AM=FN，
∴MB=CN．
∵AM不一定等于CN，
∴①錯(cuò)誤，
②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，
∴∠AME=∠BNE，
∴②正確，
③由①得，BM=CN，
∵AD=2AB=4，
∴BC=4，AB=2
∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，
∴③正確，
④方法一：如圖，

由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE= AD=2，AM=FN
∵tanα= ，
∴AM=AEtanα
∵cosα= = ，
∴cos2α= ，
∴ =1+ =1+（ ）2=1+tan2α，
∴ =2（1+tan2α）
∴S△EMN=S四邊形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN
= （AE+BN）×AB﹣ AE×AM﹣ BN×BM
= （AE+BC﹣CN）×2﹣ AE×AM﹣ （BC﹣CN）×CN
= （AE+BC﹣CF+FN）×2﹣ AE×AM﹣ （BC﹣2+AM）（2﹣AM）
=AE+BC﹣CF+AM﹣ AE×AM﹣ （2+AM）（2﹣AM）
=AE+AM﹣ AE×AM+ AM2
=AE+AEtanα﹣ AE2tanα+ AE2tan2α
=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α
=2（1+tan2α）
= ．
方法二，∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE= AD=2，
在Rt△AEM，cosα= ，
∴EM= = ，
由（1）知，Rt△AME≌Rt△FNE，
∴EM=EN，∠AEM=∠FEN，
∵∠AEF=90°，
∴∠MEN=90°，
∴△MEN是等腰直角三角形，
∴S△MEN= EM2= ．
∴④正確．
故選C．
【考點(diǎn)精析】掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了．