【題目】已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AB=4,點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將△ABD沿BD所在直線折疊,使點(diǎn)A落在P處.
(1)如圖1,若點(diǎn)D是AC中點(diǎn),連接PC.
①求AC的長(zhǎng);
②試猜想四邊形BCPD的形狀,并加以證明;
(2)如圖2,若BD=AD,過點(diǎn)P作PH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,求CH的長(zhǎng).
【答案】(1)①AC=8,②四邊形BCPD是平行四邊形.理由見解析;(2)CH=.
【解析】
(1)①根據(jù)勾股定理求出AC即可;
②想辦法證明DP∥BC,DP=BC即可;
(2)如圖2中,作DN⊥AB于N,PE⊥AC于E,延長(zhǎng)BD交PA于M.設(shè)BD=AD=x,則CD=8-x,在Rt△BDC中,可得x2=(8-x)2+42,推出x=5,由△ADN∽△ABC,可得,可得推出BN=AN=2,在Rt△BDN中,DN=,由△BDN∽△BAM,可得,可得,推出AM=4,推出AP=2AM=8,由△ADM∽△APE,可得,可得,推出AE=,推出PE=,即可解決問題;
(1)①在Rt△ABC中,∵BC=4,AB=4,
∴AC==8,
②如圖1中,四邊形BCPD是平行四邊形.
理由:∵AC=8,AD=DC,
∴DC=AD=4,
∵BC=4,
∴BC=CD=4,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴∠BDC=45°,
∴∠ADB=∠BDP=135°,
∴∠PDC=135°﹣45°=90°,
∴∠BCD=∠PDC=90°,
∴DP∥BC,∵PD=AD=BC=2,
∴四邊形BCPD是平行四邊形.
(2)如圖2中,作DN⊥AB于N,PE⊥AC于E,延長(zhǎng)BD交PA于M.
設(shè)BD=AD=x,則CD=8﹣x,
在Rt△BDC中,∵BD2=CD2+BC2,
∴x2=(8﹣x)2+42,
∴x=5,
∵DB=DA,DN⊥AB,
由△ADN∽△ABC,可得,
∴
∴BN=AN=2,
在Rt△BDN中,DN=,
由△BDN∽△BAM,可得,
∴,
∴AM=4,
∴AP=2AM=8,
由△ADM∽△APE,可得,
∴,
∴AE=,
∴PE=
易證四邊形PECH是矩形,
∴CH=PE=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCB1中,AB=1,AB與直線l的夾角為30°,延長(zhǎng)CB1交直線l于點(diǎn)A1,作正方形A1B1C1B2,延長(zhǎng)C1B2交直線l于點(diǎn)A2,作正方形A2B2C2B3,延長(zhǎng)C2B3交直線l于點(diǎn)A3,作正方形A3B3C3B4,…,依此規(guī)律,則A2016A2017=__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,C是優(yōu)弧AB上一點(diǎn),設(shè)∠OAB=α,∠C=β.
(1)當(dāng)β=36°時(shí),求α的度數(shù);
(2)猜想α與β之間的關(guān)系,并給予證明.
(3)若點(diǎn)C平分優(yōu)弧AB,且BC2=3OA2 ,試求α的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(k+1)x+2k﹣2=0.
(1)求證:此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;
(2)若此方程有一個(gè)根大于0且小于1,求k的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在以O為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,C分別在x軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)B在第一象限內(nèi),四邊形OABC是矩形,反比例函數(shù)y=(x>0)與AB相交于點(diǎn)D,與BC相交于點(diǎn)E,若BE=4CE,四邊形ODBE的面積是8,則k=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,線段AB是圓O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)H,點(diǎn)M是弧CBD上任意一點(diǎn),AH=4,CD=16.
(1)求圓O的半徑r的長(zhǎng)度;
(2)求tan∠CMD;
(3)如圖2,直徑BM交直線CD于點(diǎn)E,直線MH交圓O于點(diǎn)N,連接BN交CE于點(diǎn)F,求HEHF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一張半徑為2的半圓圖紙沿它的一條弦折疊,使其弧與直徑相切,如圖所示,O為半圓圓心,如果切點(diǎn)分直徑之比為3:1,則折痕長(zhǎng)為( )
A. 3 B. C. D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),連接AC,A(3,0),AC=3.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ⊥AC于Q,直接寫出當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù).
(1)該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是;
(2)若該二次函數(shù)的圖象開口向上,當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象的最高點(diǎn)為,最低點(diǎn)為,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)對(duì)于該二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),,設(shè),當(dāng)時(shí),均有,請(qǐng)結(jié)合圖象,直接寫出的取值范圍.
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