Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線CM．

（1）求證：∠ACM=∠ABC；

（2）延長BC到D，使CD=BC，連接AD與CM交于點E，若⊙O的半徑為2，ED=1，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明參見解析；（2）2.

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切線得出∠ACM+∠ACO=90°，再利用∠BAC=∠ACO，得出結(jié)論，（2）連接OC，得出△AEC是直角三角形，△AEC的外接圓的直徑是AC，利用△ABC∽△CDE，求出AC．

試題解析：（1）連接OC．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∴∠ABC+∠BAC=90°．∵CM是⊙O的切線，∴OC⊥CM．∴∠ACM+∠ACO=90°．∵CO=AO，∴∠BAC=∠ACO．∴∠ACM=∠ABC．（2）∵BC=CD，OB=OA，∴OC∥AD．又∵OC⊥CE，∴CE⊥AD，∵∠ACD=∠ACB=90°，∴∠AEC=∠ACD．∴△ADC∽△ACE．∴．∵⊙O的半徑為2，∴AD=4．∴．∴AC=2．