Question

（2013•南寧）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正三角形中，將其內(nèi)切圓和三個(gè)角切圓（與角兩邊及三角形內(nèi)切圓都相切的圓）的內(nèi)部挖去，則此三角形剩下部分（陰影部分）的面積為

3

-

4

9

π

．

Answer 1

分析：連接OB，以及⊙O與BC的切點(diǎn)，在構(gòu)造的直角三角形中，通過(guò)解直角三角形易求得⊙O的半徑，然后作⊙O與小圓的公切線EF，易知△BEF也是等邊三角形，那么小圓的圓心也是等邊△BEF的重心；由此可求得小圓的半徑，即可得到四個(gè)圓的面積，從而由等邊三角形的面積減去四個(gè)圓的面積和所得的差即為陰影部分的面積．

解答：解：如圖，連接OB、OD；
設(shè)小圓的圓心為P，⊙P與⊙O的切點(diǎn)為G；過(guò)G作兩圓的公切線EF，交AB于E，交BC于F，
則∠BEF=∠BFE=90°-30°=60°，所以△BEF是等邊三角形．
在Rt△OBD中，∠OBD=30°，
則OD=BD•tan30°=1×

3

3

=

3

3

，OB=2OD=

2 3

3

，BG=OB-OG=

3

3

；
由于⊙P是等邊△BEF的內(nèi)切圓，所以點(diǎn)P是△BEF的內(nèi)心，也是重心，
故PG=

1

3

BG=

3

9

；
∴S_⊙O=π×（

3

3

）²=

1

3

π，S_⊙P=π×（

3

9

）²=

1

27

π；
∴S_陰影=S_△ABC-S_⊙O-3S_⊙P=

3

-

1

3

π-

1

9

π=

3

-

4

9

π．
故答案為

3

-

4

9

π．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相切兩圓的性質(zhì)以及圖形面積的計(jì)算方法，難度適中．