Question

【題目】某學(xué)校活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時，經(jīng)歷了如下過程：
操作發(fā)現(xiàn)：
（1）已知，△ABC，如圖1，分別以AB和AC為邊向△ABC外側(cè)作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD，請你完成作圖 ， 并猜想BE與CD的數(shù)量關(guān)系是 ． （要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）
類比探究：

（2）如圖2，分別以AB和AC為邊向△ABC外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE、BG，則線段CE、BG有什么關(guān)系？說明理由．
靈活運用：

（3）如圖3，已知△ABC中，∠ABC=45°，AB=2 ，BC=3，過點A作EA⊥AC，垂足為A，且滿足AC=AE，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）；BE=CD
（2）

結(jié)論：CE=BG且EC⊥BG．

理由：在正方形ABDE和正方形ACFG中，設(shè)CE交BG于O，EC交AB于K．

∵AE=AB，AC=AG，∠EAB=∠CAG=90°，

在△ACE和△AGB中，

，

∴△ACE≌△AGB，

∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，

∵∠AKE=∠BKO，

∴∠BOK=∠EAK=90°，

∴EC⊥BG，EC=BG．

（3）

以AB為腰向外作等腰直角三角形Rt△ABG，連接CG．

在Rt△ABG中，∵AB=AG=2

∴BG= =4，

∵∠GBA=∠ABC=45°，

∴∠GBC=90°，

∴CG= =5，

∵AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠EAC=90°，

∴∠GAC=∠EAB，

在△GAC和△EAB中，

，

∴△AGC≌△ABE，

∴CG=BE，

∵CG=5，

∴BE=5．

【解析】解：（1）作圖如下，

猜想：BE=CD．
理由：∵AB=AD．AC=AE，∠DAB=∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
，
∴△DAC≌△EAB，
∴CD=BE．
所以答案是BE=CD．
【考點精析】利用等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．