Question

【題目】在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)．

(1)如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，將△ABC沿著AD折疊，點(diǎn)C落在AB邊上．請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)D（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；

(2)如圖②，將△ABC沿著過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)折疊，點(diǎn)C落在AB邊上的E處．

①若DE⊥AB，垂足為E，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)D（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；

②若AB＝，BC＝3，∠B＝45°，求CD的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

【解析】試題分析：（1）作∠CAB的角平分線(xiàn)即可；

（2）①過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，作∠CEB的角平分線(xiàn)即可；

②在如圖②中，求出CD的最小值，在如圖③當(dāng)E與A重合時(shí)，作AH⊥CB于H，設(shè)CD=DE=x，求出CD可得CD的最大值．

試題解析：解：（1）點(diǎn)D如圖所示．（作∠CAB的角平分線(xiàn)即可）

（2）①點(diǎn)D如圖所示．（過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，作∠CEB的角平分線(xiàn)即可）

②如圖②中，設(shè)CD=DE=x，則DE=EB=x，∠DEB=90°，DB=x，∵BC=3，∴x+x=3，∴x=，如圖③中，當(dāng)E與A重合時(shí)，作AH⊥CB于H，設(shè)CD=DE=x，

在Rt△AHB中，易知AH=HB=2，∠AHB=90°，HD=x﹣1，DE=x，∴x2=22+（x﹣1）2，∴x= ．

綜上可知，CD的最大值為，最小值為，∴≤CD≤，故答案為： ≤CD≤．