Question

如圖，△ABC中∠ACB=90°，點D在CA上，使得CD=1，AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的長．

Answer 1

分析：設BC=x，則BD=

x2+1

，AB=

x2+16

，由角平分線定理可知

DE

AE

=

BD

AB

，根據勾股定理即可求得x的值，即可解題．

解答：解：設BC=x，則BD=

x2+1

，AB=

x2+16

，
如圖，作∠ABD平分線BE，則△BDE∽△ADB，因此BD²=DE•DA=3DE．
由角平分線定理可知

DE

AE

=

BD

AB

，
∴

DE

AE+DE

=

BD

AB+BD

，
∴DE=

3BD

AB+BD

．
因此x2+1=

9 x2+1

x2+16 + x2+1

，
解得BC=x=

4 11

11

．

點評：本題考查了角平分線的性質，相似三角形對應邊比值相等的性質，相似三角形的判定，勾股定理在直角三角形中的運用，本題中列出關于x的方程并求x的值是解題的關鍵．