Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A'B'C．

（1）如圖1，當(dāng)AB∥CB'時(shí)，設(shè)A'B'與CB相交于點(diǎn)D，求證：△A'CD是等邊三角形．

（2）若E為AC的中點(diǎn)，P為A'B'的中點(diǎn)，則EP的最大值是多少，這時(shí)旋轉(zhuǎn)角θ為多少度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）當(dāng)AB∥CB′時(shí)，∠BCB′＝∠B＝∠B′＝30°，則∠A′CD＝90°﹣∠BCB′＝60°，∠A′DC＝∠BCB′+∠B′＝60°，可證：△A′CD是等邊三角形；

（2）連接CP，當(dāng)E、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，EP最長(zhǎng)，根據(jù)圖形求出此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角及EP的長(zhǎng)．

（1）證明：∵AB∥CB′，

∴∠B＝∠BC B′＝30°，

∴∠BC A′＝90°﹣30°＝60°，

∵∠A′＝∠A＝60°，

∴△A′CD是等邊三角形；

（2）如圖，連接CP，當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到E、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，EP最長(zhǎng)，

此時(shí)θ＝∠ACA1＝120°，

∵∠B′＝30°，∠A′CB′＝90°，

設(shè)AC＝a，

∴A′C＝AC＝A′B′＝a，

∵AC中點(diǎn)為E，A′B′中點(diǎn)為P，∠A′CB′＝90°

∴CP＝A′B′＝a，EC＝a，

∴EP＝EC+CP＝a+a＝AC．