Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．點M，N分別在邊AD，BC上運動，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）求四邊形MEFN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）分別過D，C兩點作DG⊥AB于點G，CH⊥AB于點H，由AB∥CD，DG∥CH，得到矩形DCCHG，即GH=1，根據(jù)勾股定理求出DG的長，即可求出梯形的面積；
（2）與（1）類似求出矩形MEFN，再證明△MEA≌△NFB，得到AE=BF，設AE=x，則EF=7-2x，根據(jù)△MEA∽△DGA，求出ME=

4

3

x，根據(jù)矩形的面積公式即可求出S和x的關系式，化成頂點式即可求出答案．

解答：解：（1）分別過D，C兩點作DG⊥AB于點G，CH⊥AB于點H，
∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH，
∴∠DGH=∠CHG=∠CDG=90°，
∴四邊形DGHC為矩形，GH=CD=1．
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL），
∴AG=BH=

1

2

×（7-1）=3，
∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
由勾股定理得：DG=4，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•DG
=

1

2

×（1+7）×4
=16．
答：梯形ABCD的面積是16．

（2）∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴∠MEF=90°，
∴ME=NF，ME∥NF，
∴四邊形MEFN為矩形．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS）．
∴AE=BF，
設AE=x，則EF=7-2x，
∵∠A=∠A，∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA，
∴

AE

AG

=

ME

DG

．
∴ME=

4

3

x，
S_矩形MEFN=ME•EF=

4

3

x（7-2x）=-

8

3

（x-

7

4

）²+

49

6

．
當x=

7

4

時，ME=

7

3

＜4，
∴四邊形MEFN面積的最大值為

49

6

．
答：四邊形MEFN面積的最大值是

49

6

．

點評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，等腰梯形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)的最值等知識點，綜合運用性質(zhì)和判定進行計算是解此題的關鍵．題型較好，綜合性強，有一定的難度．