【題目】操作:將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上,并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動,直角的一邊始終經(jīng)過點B,另一邊與射線DC相交于點Q,設(shè)A、P兩點間的距離為x

探究:

1)當點Q在邊CD上時,線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系?試證明你觀察到的結(jié)論;

2)當點Q在邊CD上時,設(shè)四邊形PBCQ的面積為y,求yx之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;(3)當點P在線段AC上滑動時,△PCQ是否能成為等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置,并求出相應(yīng)x的值;如果不可能,試說明理由.

【答案】1)、PQ=PB;證明過程見解析;(2)、y=0≤x);(3)、x01.

【解析】試題分析:(1)、過點PMN∥BC,分別交AB、CD于點MN,則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形,△AMP△CNP都是等腰三角形,得出NP=NC=MB,從而證明△QNP≌△PMB,從而得出答案;(2)、設(shè)AP=x,則MMPNQDNx,BMPNCN1x,根據(jù)題意得出△PBC△PCQ的面積,然后得出yx的函數(shù)關(guān)系式;(3)、本題分三種情況進行討論,即當點Q在邊DC上;當點Q在邊DC的延長線上;當點QC點重合.

試題解析:(1)、過點PMN∥BC,分別交AB、CD于點MN,則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形,

△AMP△CNP都是等腰三角形(如圖1),∴NPNCMB

∵∠BPQ90°∴∠QPN∠BPM90°,而∠BPM∠PBM90°∴∠QPN∠PBM

∵∠QNP∠PMB90°∴△QNP≌△PMBASA),∴PQPB

(2)、由(1)△QNP≌△PMB,得NQMP

設(shè)APx,∴AMMPNQDNx,BMPNCN1x ∴CQCDDQ1x1x

∴SPBCBCBM×1×(1x)x,

SPCQCQPN×(1x)(1x)

∴S四邊形PBCQSPBCSPCQ, 即y0≤x).

(3)、△PCQ可能成為等腰三角形.

當點Q在邊DC上,由得:

解得x10,x2(舍去)

當點Q在邊DC的延長線上(如圖2),由PCCQ得:xx1,

解得x1

當點QC點重合,△PCQ不存在.

綜上所述,x01時,△PCQ為等腰三角形

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