Question

如圖①，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形．請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：
（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（不需證明）
（2）如圖③，在△ABC中，∠B=60°，請(qǐng)問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：圖①根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，過點(diǎn)P作PA⊥OM于A，作PB⊥ON于B，△POA和△POB即為關(guān)于直線OP對(duì)稱的全等三角形；
（1）猜想FE=FD；
（2）過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得FG=FH=FK，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求出∠GFH=120°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AFC=120°，根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠EFD=120°，然后求出∠EFG=∠DFH，再利用“角角邊”證明△EFG和△DFH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得FE=FD．

解答：解：圖①如圖所示；
（1）FE=FD；

（2）如圖，過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，
∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，
∴FG=FH=FK，
在四邊形BGFH中，∠GFH=360°-60°-90°×2=120°，
∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，∠B=60°，
∴∠FAC+∠FCA=

1

2

（180°-60°）=60°，
在△AFC中，∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-60°=120°，
∴∠EFD=∠AFC=120°，
∴∠EFG=∠DFH，
在△EFG和△DFH中，

∠EFG=∠DFH ∠EGF=∠DHF=90° FG=FH

，
∴△EFG≌△DFH（AAS），
∴FE=FD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，遇到角平分線，作角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．