Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，線段AD是BC邊上的中線．

1.如圖(Ⅰ)，將△ADC沿直線BC平移，使點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，得到△FCE，連結(jié)AF．求證：四邊形ADEF是等腰梯形；

2.如圖(Ⅱ)，在（1）的條件下，再將△FCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（0°<<90°）連結(jié)AF、DE．

AC⊥CF時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；②當(dāng)=60°時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形ADEF的形狀，并給予證明．

 

Answer 1

 

1.證明：∵△ADC沿直線BC平移得到△FCE，

∴AD∥FC，且AD=FC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∴AF∥DC，即AF∥DE，------------------------------------------------1分

∵∠BAC=90°，∠B=30°，∴∠ACD=60°，

∵AD是BC邊上的中線，∴AD=DC，-------------------------------2分

∴△ADC是等邊三角形，------------------------------------------------3分

∵△ADC≌△FCE，∴△FCE是等邊三角形，

∴AD=FE，------------------------------------------------------------------4分

∵AF≠DE，∴四邊形ADEF是等腰梯形．--------------------------5分

2.①解：由（1）可知∠1=60°，-----------------6分

當(dāng)AC⊥CF時(shí)，∠2=90°-60°=30°，

∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為30°，----------------------------------7分

②四邊形ADEF為矩形，----------------------------------8分

由（1）可知△ADC和△FCE是全等正三角形，

∴CA=CE=CD=CF，---------------------9分

當(dāng)=60°時(shí)，如圖（Ⅲ），∠ACF=60°+60°=120°，

∴∠ACE=120°+60°=180° ，∴A、C、E三點(diǎn)共線，同理：D、C、F三點(diǎn)共線，--------10分

∴AE=DF，---------11分

∴四邊形ADEF為矩形．----------------------12分

解析:利用平移的性質(zhì)、全等三角形和矩形的判定求證