Question

如圖，點P是正方形ABCD邊AB上一點（不與點A，B重合），連接PD并將線段PD繞點P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，PE交邊BC于點F，連接BE，DF．
（1）求證：∠ADP=∠EPB；
（2）求∠CBE的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A=90°，則∠ADP+∠DPA=90°；而線段PD繞點P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，得∠DPE=90°，則∠DPA+∠EPB=90°，經(jīng)過等量代換即可得到結(jié)論；
（2）由線段PD繞點P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE得PD=PE，易證得Rt△PAD≌Rt△EPG，則AP=EG，AD=PG，而AD=AB，易得AP=BG，則BG=EG，得到△EBG為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠EBG=45°，利用互余即可得到∠CBE的度數(shù)．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠A=90°，
∴∠ADP+∠DPA=90°，
又∵線段PD繞點P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，
∴∠DPE=90°，
∴∠DPA+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；

（2）過E點作EG⊥AB于G，如圖，
∵線段PD繞點P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，
∴PD=PE，
而∠ADP=∠EPB，
又∵∠A=∠G=90°，
∴Rt△PAD≌Rt△EPG，
∴AP=EG，AD=PG，
而AD=AB，
∴AP+PB=PB+BG，
∴AP=BG，
∴BG=EG，
∴△EBG為等腰直角三角形，
∴∠EBG=45°，
∴∠CBE=45°．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四邊相等，四個角都為90°．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．