某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng),過(guò)程如下:
設(shè)∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒依次擺放在兩射線之間,并使小棒兩端分別落在兩射線上.
活動(dòng)一:
如圖甲所示,從點(diǎn)A1開(kāi)始,依次向右擺放小棒,使小棒與小棒在端點(diǎn)處互相垂直,A1A2為第1根小棒.
數(shù)學(xué)思考:
(1)小棒能無(wú)限擺下去嗎?答:
 
.(填“能“或“不能”)
(2)設(shè)AA1=A1A2=A2A3=1.
①θ=
 
度;
②若記小棒A2n-1A2n的長(zhǎng)度為an(n為正整數(shù),如A1A2=a1,A3A4=a2,…),求出此時(shí)a2,a3的值,并直接寫(xiě)出an(用含n的式子表示).
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活動(dòng)二:
如圖乙所示,從點(diǎn)A1開(kāi)始,用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放,其中A1A2為第1根小棒,且A1A2=AA1
數(shù)學(xué)思考:
(3)若已經(jīng)向右擺放了3根小棒,則θ1=
 
,θ2=
 
,θ3=
 
(用含θ的式子表示);
(4)若只能擺放4根小棒,求θ的范圍.
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分析:(1)本題需先根據(jù)已知條件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒兩端分別落在兩射線上,從而判斷出能繼續(xù)擺下去.
(2)本題需先根據(jù)已知條件AA1=A1A2=A2A3=1,A1A2⊥A2A3,得出A2A3和AA3的值,判斷出A1A2∥A3A4、A3A4∥A5A6,即可求出∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A,從而此時(shí)a2,a3的值和出an
(3)本題需先根據(jù)A1A2=AA1,得出∠A1AA2和∠AA2A1相等,即可得出θ1的值,同樣道理得出θ2、θ3的值.
(4)本題需先根據(jù)已知條件,列出不等式,解出θ的取值范圍,即可得出正確答案.
解答:解:(1)∵根據(jù)已知條件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒兩端能分別落在兩射線上,
∴小棒能繼續(xù)擺下去.
故答案為:能;

(2)①∵A1A2=A2A3,A1A2⊥A2A3,
∴∠A2A1A3=45°,
∴∠AA2A1+∠θ=45°,
∵∠AA2A1=∠θ,
∴∠θ=22.5°;

②∵AA1=A1A2=A2A3=1,A1A2⊥A2A3
∴A1A3=
2
,AA3=1+
2

又∵A2A3⊥A3A4
A1A2∥A3A4
同理;A3A4∥A5A6
∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5
∴AA3=A3A4,AA5=A5A6
∴a2=A3A4=AA3=1+
2

a3=AA3+A3A5=a2+A3A5
∵A3A5=
2
a2,
∴a3=A5A6=AA5=a2+
2
a2=(
2
+1)2

∴an=(
2
+1)n-1


(3)∵A1A2=AA1
∴∠A1AA2=∠AA2A1
∴∠A2A1A31=θ+θ
∴θ1=2θ
同理可得:θ2=3θ
θ3=4θ;

(4)如圖:
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∵A4A3=A4A5
∴∠A4A3A5=∠A4A5A3=4θ°,
∵根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì),
當(dāng)∠A5A4B是鈍角或直角時(shí),不能繼續(xù)擺放小棒了,
∴當(dāng)∠A4A3A5是銳角,∠A5A4B=5θ是鈍角或直角時(shí),只能擺放4根小棒,
∴5θ≥90°,4θ<90°,
5θ≥90°
4θ<90°

∴18°≤θ<22.5°.
故答案為:能,22.5°,2θ,3θ,4θ.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),在解題時(shí)要注意根據(jù)題意找出規(guī)律并與相似三角形的性質(zhì)相結(jié)合是本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•錫山區(qū)一模)某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng),過(guò)程如下:設(shè)∠BAC=θ(0°<θ<90°).現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線AB、AC之間,并使小棒兩端分別落在兩射線上,從點(diǎn)A1開(kāi)始,用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放,其中A1A2為第1根小棒,且A1A2=AA1
(1)若已經(jīng)向右擺放了3根小棒,且恰好有∠A4A3A=90°,則θ=
22.5°
22.5°

(2)若只能擺放5根小棒,則θ的范圍是
15°≤θ<18°
15°≤θ<18°

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•寧德)某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng),過(guò)程如下:
如圖1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏將一塊三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在A上,從AB邊開(kāi)始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α,其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D,直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E.
(1)小敏在線段BC上取一點(diǎn)M,連接AM,旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn):若AD平分∠BAM,則AE也平分∠MAC.請(qǐng)你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;
(2)當(dāng)0°<α≤45°時(shí),小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系:BD2+CE2=DE2
同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決;小穎的想法:將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF,連接EF(如圖2)
小亮的想法:將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG,連接EG(如圖3);
小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板,在探究中得出當(dāng)45°<α<135°且α≠90°時(shí),等量關(guān)系BD2+CE2=DE2仍然成立,先請(qǐng)你繼續(xù)研究:當(dāng)135°<α<180°時(shí)(如圖4)等量關(guān)系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,給出證明;若不成立,說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng),過(guò)程如下:
設(shè)∠BAC=θ(0°<θ<90°).現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線AB,AC之間,并使小棒兩端分別落在兩射線上.活動(dòng)一:如圖所示,從點(diǎn)A1開(kāi)始,依次向右擺放小棒,使小棒與小棒在兩端點(diǎn)處互相垂直,A1A2為第1根小棒.
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.(填“能”或“不能”)
(2)設(shè)AA1=A1A2=A2A3=1.①θ=
22.5
22.5
度; ②若記小棒A2n-1A2n的長(zhǎng)度為an(n為正整數(shù),如A1A2=a1,A3A4=a2,),求此時(shí)a2,a3的值,并直接寫(xiě)出an(用含n的式子表示).

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閱讀材料:
學(xué)習(xí)了無(wú)理數(shù)后,某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次探究活動(dòng):估算
13
的近似值.
小明的方法:
9
13
16

設(shè)
13
=3+k(0<k<1).
(
13
)2=(3+k)2

∴13=9+6k+k2
∴13≈9+6k.
解得 k≈
4
6

13
≈3+
4
6
≈3.67.
問(wèn)題:
(1)請(qǐng)你依照小明的方法,估算
41
的近似值;
(2)請(qǐng)結(jié)合上述具體實(shí)例,概括出估算
m
的公式:已知非負(fù)整數(shù)a、b、m,若a<
m
<a+1,且m=a2+b,則
m
a+
b
2a
a+
b
2a
(用含a、b的代數(shù)式表示);
(3)請(qǐng)用(2)中的結(jié)論估算
37
的近似值.

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