【題目】對(duì)于任意一點(diǎn) P 和線段 a.若過點(diǎn) P 向線段 a 所在直線作垂線,若垂足落在線段 a 上,則稱點(diǎn) P 為線段a 的內(nèi)垂點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,已知點(diǎn) A(-1,0),B(2,0 ) ,C(0,2).
(1)在點(diǎn) M(1,0),N(3,2),P(-1,-3)中,是線段 AB 的內(nèi)垂點(diǎn)的是 ;
(2)已知點(diǎn) D(-3,2),E(-3,4).在圖中畫出區(qū)域并用陰影表示,使區(qū)域內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)均為 Rt△CDE三邊的內(nèi)垂點(diǎn);
(3)已知直線 m 與 x 軸交于點(diǎn) B,與 y 軸交于點(diǎn) C,將直線 m 沿 y 軸平移 3 個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線 n . 若存在點(diǎn) Q,使線段 BQ 的內(nèi)垂點(diǎn)形成的區(qū)域恰好是直線 m 和 n 之間的區(qū)域(包括邊界),直接寫出點(diǎn) Q 的坐標(biāo).
【答案】(1)M,P;(2)見詳解;(3)(0.5,﹣1.5)或(3.5,1.5)
【解析】
(1)畫圖后根據(jù)定義可以判定;
(2)如圖2所示;
(3)分兩種情況:①n在m的下方,②n在m的上方,先確認(rèn)m和n的解析式,n與x軸的交點(diǎn)為E,作BE的垂直平分線,與n的交點(diǎn)即是Q.
解:(1)如圖1所示:PA⊥AB,垂足為A,過M作AB的垂線,垂足為M,都在線段AB上,
所以線段AB的內(nèi)垂點(diǎn)的是:M,P;
故答案為:M,P;
(2)如圖2所示,
(3)分兩種情況:
①當(dāng)n在m的下方時(shí),如圖3,
∵B(2,0),C(0,2).
設(shè)BC的解析式為:y=kx+b,則,
解得:,
∴m:y=﹣x+2,
n:y=﹣x﹣1,
∴E(﹣1,0),
取BE的中點(diǎn)P,過P作BE的垂線交n于Q,
∵P(0.5,0),
∴當(dāng)x=0.5時(shí),y=﹣x﹣1=﹣1.5,
∴Q(0.5,﹣1.5);
②當(dāng)直線n在直線m的上方時(shí),如圖4,則n:y=﹣x+5,
同理得Q(3.5,1.5);
綜上,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0.5,﹣1.5)或(3.5,1.5).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】比較下列各對(duì)數(shù)的大。
(1)________;(2)________;(3)________;(4)________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,觀察二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象,下列結(jié)論:
①a+b+c>0,②2a+b>0,③b2﹣4ac>0,④ac>0.
其中正確的是( )
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題情境
如圖 1,△ABC 中,沿∠BAC 的平分線 AB1 折疊,剪掉重疊部分;將余下部分沿∠B1A1C 的平分線 A1B2 折 疊,剪掉重疊部分;如此反復(fù)操作,沿 ∠Bn An C 的平分線 An Bn-1 折疊,點(diǎn) Bn 與點(diǎn) C 重合,我們就稱 ∠BAC是△ABC 的正角.
以圖 2 為例,△ABC 中,∠B=70°,∠C=35°,若沿∠BAC 的平分線 AB1 折疊,則∠AA1B=70°.沿 A1B1 剪掉重疊部分,在余下的△B1A1C 中,由三角形的內(nèi)角和定理可知∠A1B1C=35°,若沿∠B1A1C 的平分線 A1B2 第二次折疊,則點(diǎn) B1 與點(diǎn) C 重合. 此時(shí),我們就稱∠BAC 是△ABC 的正角.
探究發(fā)現(xiàn)
(1)△ABC 中,∠B= 2∠C ,則經(jīng)過兩次折疊后,∠BAC 是不是△ABC 的正角? (填“是”或“不是” ) .
(2)小明經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)∠BAC 是△ABC 的正角,則 ∠B 與∠C (不妨設(shè) ∠B >∠C ) 之間的等量關(guān)系 為 .
根據(jù)以上內(nèi)容猜想:若經(jīng)過 n 次折疊 ∠BAC 是△ABC 的正角,則∠B 與 ∠C (不妨設(shè)∠B> ∠C ) 之間 的等量關(guān)系為 .
應(yīng)用提升
(3)如果一個(gè)三角形的最小角是 10°,直接寫出此三角形另外兩個(gè)角的度數(shù),使得此三角形的三個(gè)角均是 它的正角.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】鎮(zhèn)政府想了解李家莊 130 戶家庭的經(jīng)濟(jì)情況,從中隨機(jī)抽取了部分家庭進(jìn)行調(diào)查,獲得了他們的年收入(單位:萬元),并對(duì)數(shù)據(jù)(年收入)進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.
a.被抽取的部分家庭年收入的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖如下(數(shù)據(jù)分組:0.9≤x<1.3,1.3≤x<1.7 , 1.7≤x<2.1, 2.1≤x<2.5, 2.5≤x<2.9 , 2.9≤x<3.3 )
b.家庭年收入在1.3≤x<1.7 這一組的是: 1.3 1.3 1.4 1.5 1.6 1.6
根據(jù)以上信息,完成下列問題:
(1)將兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)估計(jì)李家莊有多少戶家庭年收入不低于 1.5 萬元且不足 2.1 萬元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30cm,AC=40cm,點(diǎn)D在線段AB上,從點(diǎn)B出發(fā),以2cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。
(1)點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)t秒后,BD= cm(用含有t的式子表示)
(2)AB=cm,AB邊上的高為cm;
(3)點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)△BCD為等腰三角形時(shí),求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)D為OC上一點(diǎn),過D作直線DE⊥OA,垂足為點(diǎn)E,且直線DE交OB于點(diǎn)F,如圖所示.若DE=2,則DF=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC,∠C=90°,AC=12,BC=6,一條線段PQ=AB,P、Q兩點(diǎn)分別在AC和過點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上運(yùn)動(dòng),要使△ABC和△QPA全等,則AP= ______ .
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