Question

【題目】如圖，已知直線y＝﹣x+2與x軸，y軸交于B，A兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A，B．

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）點P為線段OB上一個動點，過點P作垂直于x軸的直線交拋物線于點N，交直線AB于點M．

①點C是直線AB上方拋物線上一點，當△MNC∽△BPM相似時，求出點C的坐標．

②若∠NAB＝60°，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2．（2）①點C的坐標為（，）或（，）②點P的坐標為（，0）．

【解析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A，B的坐標，由點A，B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）①設點P的坐標為（x，0），則點N的坐標為（x，-x2+ x+2），點C的坐標為（-x，-x2+x+2），點M的坐標為（-x+2），進而可得出MN=-x2+4x，CN=|2x-|，由相似三角形的性質即可得出關于x的方程，解之即可得出x的值，進而可得出點C的坐標；
②過點N作NE⊥AB于點E，設點P的坐標為（m，0），則PM=-m+2，MN=-m2+4m，利用相似三角形的性質及特殊角的三角函數(shù)值可用含m的代數(shù)式表示出BM，ME，AE的長度，再利用勾股定理即可得出關于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．

解：（1）當x＝0時，y＝﹣x+2＝2，

∴點A的坐標為（0，2）；

當y＝0時，﹣x+2＝0，

解得：x＝4，

∴點B的坐標為（4，0）．

將A（0，2），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，

解得：，

∴這個拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2．

（2）①當△MNC∽△BPM相似時，如圖1所示．

設點P的坐標為（x，0），則點N的坐標為（x，﹣x2+x+2），點C的坐標為（﹣x，﹣x2+x+2），點M的坐標為（﹣x+2），

∴MN＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+4x，CN＝|x﹣（﹣x）|＝|2x﹣|．

∵△MNC∽△BPM，

∴＝，即＝，

解得：x1＝，x2＝﹣（舍去），x3＝1，x4＝7（舍去），

∴﹣x＝或，

∴當△MNC∽△BPM時，點C的坐標為（，）或（，）．

②過點N作NE⊥AB于點E，如圖2所示．

設點P的坐標為（m，0），則PM＝﹣m+2，MN＝﹣m2+4m，

∴BM＝PM＝﹣m+2，ME＝MN＝（﹣m2+4m），NE＝2ME＝（﹣m2+4m），AE＝NE＝（﹣m2+4m），

∴BM+ME+AE＝AB，即﹣m+2+（﹣m2+4m）+（﹣m2+4m）＝，

整理得：（6+4）m2﹣（16+9）m＝0，

解得：m1＝0（舍去），m2＝，

∴當∠NAB＝60°時，點P的坐標為（，0）．