Question

【題目】如圖，拋物線L：y=ax2+bx+c與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），已知對(duì)稱軸x=1．

（1）求拋物線L的解析式；
（2）將拋物線L向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)（包括△OBC的邊界），求h的取值范圍；
（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線L上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線l：x=﹣3上，△PBQ能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線的對(duì)稱軸x=1，B（3，0），

∴A（﹣1，0）

∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)C（0，3）

∴當(dāng)x=0時(shí)，c=3．

又∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）

∴ ，

∴

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3

（2）

解：∵C（0，3），B（3，0），

∴直線BC解析式為y=﹣x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）

∵對(duì)于直線BC：y=﹣x+1，當(dāng)x=1時(shí)，y=2；將拋物線L向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，

∴當(dāng)h=2時(shí)，拋物線頂點(diǎn)落在BC上；

當(dāng)h=4時(shí)，拋物線頂點(diǎn)落在OB上，

∴將拋物線L向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)（包括△OBC的邊界），

則2≤h≤4

（3）

解：設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），

①當(dāng)P點(diǎn)在x軸上方時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作PM垂直于y軸，交y軸與M點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作BN垂直于MP的延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，如圖所示：

∵B（3，0），

∵△PBQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

∴∠BPQ=90°，BP=PQ，

則∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP，

在△PQM和△BPN中， ，

∴△PQM≌△BPN（AAS），

∴PM=BN，

∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，

∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6，

解得：m=1或m=0，

∴P（1，4）或P（0，3）．

②當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作PM垂直于l于M點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作BN垂直于MP的延長(zhǎng)線與N點(diǎn)，

同理可得△PQM≌△BPN，

∴PM=BN，

∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3，

則3+m=m2﹣2m﹣3，

解得m= 或 ．

∴P（ ， ）或（ ， ）．

綜上可得，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4），（0，3），（ ， ）和（ ， ）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）先求出直線BC解析式為y=﹣x+3，再求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出當(dāng)x=1時(shí)，y=2；結(jié)合拋物線頂點(diǎn)坐即可得出結(jié)果；（3）設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），由勾股定理得出PB2=（m﹣3）2+（﹣m2+2m+3）2 ， PQ2=（m+3）2+（﹣m2+2m+3﹣n）2 ， BQ2=n2+36，過(guò)P點(diǎn)作PM垂直于y軸，交y軸與M點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作BN垂直于MP的延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，由AAS證明△PQM≌△BPN，得出MQ=NP，PM=BN，則MQ=﹣m2+2m+3﹣n，PN=3﹣m，得出方程﹣m2+2m+3﹣n=3﹣m，解方程即可．本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式、拋物線的頂點(diǎn)式、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（3）中，需要通過(guò)作輔助線證明三角形全等才能得出結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°才能正確解答此題．