Question

【題目】 已知：直線y=-x-4分別交x、y軸于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）以點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D為圓心，以OD為半徑作⊙D，連結(jié)AD、CD，問(wèn)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S△ACP=2S△ACD？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，若E為⊙D上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、O重合)，連結(jié)AE、OE，問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使∠ACQ：∠AEO=2：3？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x；（2）P坐標(biāo)為(-3-，7+)或(-3+，7-)；（3）Q坐標(biāo)為(4-8，0)、(-4-8，0)、(4，0)．

【解析】

（1）求直線y=-x-4與坐標(biāo)軸交點(diǎn)A、C坐標(biāo)，求AC中點(diǎn)B坐標(biāo)，即能用待定系數(shù)法求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)(-2，-2)，可得D坐標(biāo)為(-2，2)，所以△ADO、△ACO均為等腰直角三角形，連接AD并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)F，可知使S△ACP=2S△ACD的點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)F且平行于直線y=-x-4的直線上，求出直線與拋物線交點(diǎn)即使所求點(diǎn)P；

（3）由（2）可知，∠AEO度數(shù)有兩種情況，當(dāng)點(diǎn)E在優(yōu)弧AO上時(shí)，∠ACQ=∠AEO=30°．構(gòu)造直角三角形列方程即可求出Q坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)E在劣弧AO上時(shí)，∠AEO=135°，∠ACQ=90°．由等腰直角三角形性質(zhì)和對(duì)稱即可求出點(diǎn)Q．

解：（1）∵直線y=-x-4中，y=0時(shí)，x=-4；x=0時(shí)，y=-4，

∴A(-4，0)，C(0，-4)，

∵點(diǎn)B為AC中點(diǎn)，

∴B(-2，-2)，

∵拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，

∴ ，

解得：，

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=x2+2x．

（2）在拋物線上存在點(diǎn)P使S△ACP=2S△ACD．

如圖1，連接AD并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)F，

∵y=x2+2x=(x-2)2-2，

∴點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，

∵點(diǎn)D為點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，

∴D(-2，2)在拋物線的對(duì)稱軸上，

∴DA=DO，∠DAO=∠DOA=45°，

∵OA=OC=4，∠AOC=90°，

∴∠OAC=45°，

∴∠DAC=∠DAO+∠OAC=90°，

∴S△ACD=ACAD，

∵∠AOF=90°，

∴AF為⊙D直徑，即點(diǎn)F在⊙D上，

∴AF=2AD，OF=OA=4即F(0，4)，

∵S△ACP=2S△ACD=2ACAD=AC2AD=ACAF，

∴點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)F且平行于直線y=-x-4的直線上，

∴直線PF解析式為y=-x+4，

∵，

解得：；．

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(-3-，7+)或(-3+，7-)；

（3）在x軸上存在點(diǎn)Q使∠ACQ：∠AEO=2：3．

∵∠OAD=∠ODA=45°，

∴∠ADO=90°，

∵點(diǎn)E在⊙D上且不與A、O重合，∠ACQ：∠AEO=2：3．

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在優(yōu)弧AO上時(shí)，∠AEO=∠ADO=45°，

∴∠ACQ=∠AEO=30°，

過(guò)點(diǎn)Q作QG垂直直線AC于點(diǎn)G，設(shè)QG=t，

∴Rt△CQG中，CQ=2QG=2t，CG=QG=t．

∴∠GAQ=∠OAC=45°，

∴Rt△AGQ中，AG=QG=t，AQ=QG=t．

i)若點(diǎn)Q在線段AO上時(shí)，如圖2：

則AC=AG+CG=t+t=4，

解得：t=2-2，

∴AQ=，

∴xQ=-4+4-4=4-8；

ii)若點(diǎn)Q在線段OA延長(zhǎng)上時(shí)，如圖3：

則AC=CG-AG=t-t=4，

解得：，

∴AQ=，

∴xQ=-4-(4+4)=-4-8，

②當(dāng)點(diǎn)E在劣弧AO上時(shí)，∠AEO=(360°-∠ADO)=135°，

∴∠ACQ=∠AEO=90°．

∵∠CAO=45°，△ACO是等腰直角三角形，

∴Q點(diǎn)與A點(diǎn)對(duì)稱，A (-4，0)

∴xQ=4．

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)Q有三個(gè)，坐標(biāo)分別為(4-8，0)、(-4-8，0)、(4，0)