【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn),以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的∠EDF的兩邊分別與邊AB,AC交于點(diǎn)E,F(xiàn),且∠EDF與∠A互補(bǔ).
(1)如圖1,若AB=AC,且∠A=90°,則線段DE與DF有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出結(jié)論;
(2)如圖2,若AB=AC,那么(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖3,若AB:AC=m:n,探索線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】
(1)解:DF=DE,
理由:如圖1,連接AD,
∵Rt△ABC是等腰三角形,
∴∠C=∠B=45°,
∴D是斜邊BC的中點(diǎn),
∴∠DAB=∠DAC= ∠BAC=45°,AD⊥BC,
∴AD=DC,
∵∠EDF=90°,
∴∠ADF+∠ADE=90°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠ADF+∠FDC=90°,
∴∠ADE=∠FDC,
在△ADE和△CDF中, ,
∴△AED≌△CFD(ASA);
∴DE=DF;
(2)解:DE=DF依然成立.
如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,連接AD,
則∠EMD=∠FND=90°,
∵AB=AC,點(diǎn)D為BC中點(diǎn),
∴AD平分∠BAC,
∴DM=DN,
∵在四邊形AMDN中.,∠DMA=∠DNA=90°,
∴∠MAN+∠MDN=180°,
又∵∠EDF與∠MAN互補(bǔ),
∴∠MDN=∠EDF,
∴∠1=∠2,在△DEM與△DFN中, ,
∴△DEM≌△DFN(ASA),
∴DE=DF.
(3)解:結(jié)論DE:DF=n:m.
如圖3,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,連接AD,
同(2)可證∠1=∠2,
又∵∠EMD=∠FND=90°,
∴△DEM∽△DFN,
∴ .
∵點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn),
∴S△ABD=S△ADC,
∴ ,
∴ ,
又∵ ,
∴ .
【解析】(1)DF=DE,理由:如圖1,連接AD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的三線合一得∠C=∠B=45°,∠DAB=∠DAC=45°,AD⊥BC,然后根據(jù)同角的余角相等得出∠ADE=∠FDC,進(jìn)而利用ASA判斷出△AED≌△CFD,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出DE=DF;
(2)DE=DF依然成立.如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,連接AD,根據(jù)等腰三角形的三線合一得出AD平分∠BAC,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出DM=DN,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得出∠MAN+∠MDN=180°,又根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得出∠MDN=∠EDF,進(jìn)而得出∠1=∠2,然后根據(jù)ASA判斷出△DEM≌△DFN,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出結(jié)論;
(3)結(jié)論DE:DF=n:m.如圖3,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,連接AD,由AA判斷出△DEM∽△DFN,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出=,根據(jù)等底同高的兩個(gè)三角形面積相等得出S△ABD=S△ADC,得出等積式,再根據(jù)等量代換得出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】掌握等腰直角三角形和角平分線的性質(zhì)定理是解答本題的根本,需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°;定理1:在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等; 定理2:一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,對(duì)稱軸是直線x=1,有以下四個(gè)結(jié)論:
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(1)求出y與x之間,z與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該公司能否在第一年收回投資.
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A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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【題目】已知關(guān)于 的一元二次方程m +2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則 的取值范圍是( )
A.m<-1
B.m>1
C.m<1且m≠0
D.m>-1且m≠0
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,給出以下結(jié)論:
①b2>4ac;
②abc>0;
③2a﹣b=0;
④8a+c<0;
⑤9a+3b+c<0,
其中結(jié)論正確有( )個(gè)。
A.2個(gè)
B.3個(gè)
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