【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y1=ax2+bx(a≠0),與x軸正半軸交于點(diǎn)A1(2,0),頂點(diǎn)為P1 , △OP1A1為正三角形,現(xiàn)將拋物線y1=ax2+bx(a≠0)沿射線OP1平移,把過點(diǎn)A1時的拋物線記為拋物線y2 , 記拋物線y2與x軸的另一交點(diǎn)為A2;把拋物線y2繼續(xù)沿射線OP1平移,把過點(diǎn)A2時的拋物線記為拋物線y3 , 記拋物線y3與x軸的另一交點(diǎn)為A3;….;把拋物線y2015繼續(xù)沿射線OP1平移,把過點(diǎn)A2015時的拋物線記為拋物線y2016 , 記拋物線y2016與x軸的另一交點(diǎn)為A2016 , 頂點(diǎn)為P2016 . 若這2016條拋物線的頂點(diǎn)都在射線OP1上.

(1)①求△OP1A1的面積;②求a,b的值;
(2)求拋物線y2的解析式;
(3)請直接寫出點(diǎn)A2016以及點(diǎn)P2016坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:①過點(diǎn)P1作作P1B1⊥x軸,垂足為B1

∵△OP1A1為正三角形,

∴∠P1OA1=60°,P1O=P1A1

又∵P1B1⊥x軸,

∴0B1=B1A1=1.

∴P1B1=OP1× =2× =

∴P1(1, ),△OP1A1的面積= OA1P1B1= ×2× =

②∵將點(diǎn)A1(2,0)、P1(1, )在拋物線y1上,

,解得:a=﹣ ,b=2


(2)

解:設(shè)直線OP1的解析式為y=kx.

∵將P1(1, )代入得:k= ,

∴直線OP1的解析式為y= x.

∵點(diǎn)P2在直線OP1上,

∴設(shè)點(diǎn)P2(a, ).

∴y2=﹣ (x﹣a)2+ a.

∵將點(diǎn)A1的坐標(biāo)代入得:﹣ (2﹣a)2+ a=0,解得:a1=1(舍去),a2=4,

∴y2=﹣ (x﹣4)2+4 ,整理得:y2=﹣ x2+8 x﹣12


(3)

解:∵a2=4,

∴P2(4,4 ).

∴點(diǎn)A1與D點(diǎn)A2關(guān)于x=4對稱,

∴點(diǎn)A2(6,0).

設(shè)P3(b, )則y3=﹣ (x﹣b)2+ b.

∵將A2(6,0)代入得﹣ (6﹣b)2+ b=0,解得:b1=4(舍去),b2=9,

∴P3(9,9 ).

∵A2(6,0),點(diǎn)A2與A3關(guān)于x=9對稱,

∴A3(12,0).

P1(1, ),A1(2,0),

P2(4,4 ),A2(6,0),4=22,6=2×3;

P3(9,9 ),A3(12,0),9=32,12=3×4;

P2016(4064256,4064256 ),A2016(4066272,0)


【解析】(1)①過點(diǎn)P1作作P1B1⊥x軸,垂足為B1 . 由等邊三角形的性質(zhì)可知可求得P1B1的長度,然后依據(jù)三角形的面積公式可求得△OP1A1的面積;②將點(diǎn)A1(2,0)、P1(1, )代入拋物線的解析式,即可求得a、b的值;(2)先利用待定系數(shù)法求得直線OP1的解析式,然后設(shè)點(diǎn)P2(a, ).則y2=﹣ (x﹣a)2+ a,接下來,將點(diǎn)A1的坐標(biāo)代入可求得a的值,從而可得到拋物線的解析式;(3)由a2=4,可求得點(diǎn)P2(4,4 ),然后依據(jù)拋物線的對稱性可求得點(diǎn)A2(6,0),接下來,再求得P3(9,9 ),A3(12,0),最后觀察所得結(jié)果找出其中的規(guī)律,依據(jù)規(guī)律可求得問題的答案.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)與式的規(guī)律,掌握先從圖形上尋找規(guī)律,然后驗(yàn)證規(guī)律,應(yīng)用規(guī)律,即數(shù)形結(jié)合尋找規(guī)律即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(1)閱讀理解:

如圖①,在ABC中,若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法:延長AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE(或?qū)?/span>ACD繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到EBD),把AB、AC,2AD集中在ABE中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.

中線AD的取值范圍是 ;

(2)問題解決:

如圖②,在ABC中,D是BC邊上的中點(diǎn),DEDF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,求證:BE+CFEF;

(3)問題拓展:

如圖③,在四邊形ABCD中,B+D=180°,CB=CD,BCD=140°,以為頂點(diǎn)作一個70°角,角的兩邊分別交AB,AD于E、F兩點(diǎn),連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

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【題目】如圖,⊙O是等邊△ABC的外接圓,M是BC延長線上一點(diǎn),連接AM交⊙O于點(diǎn)D,延長BD至點(diǎn)N,使得BN=AM,連接CN,MN.
(1)判斷△CMN的形狀,并證明你的結(jié)論;
(2)求證:CN是⊙O的切線;
(3)若等邊△ABC的邊長是2,求ADAM的值.

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【題目】某市2012~2016年常住人口數(shù)統(tǒng)計如圖所示。

(1)該市常住人口數(shù)2016年比2015年增加了___________萬人;

(2)與上一年相比,該市常住人口數(shù)增長率最大的年份是__________________;

(3)預(yù)測2017年該市常住人口大約有多少萬人,并用所學(xué)的統(tǒng)計知識說明理由。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點(diǎn),CD⊥AB于D,且AB=8,DB=2.

(1)求證:△ABC∽△ACD;
(2)求圖中陰影部分的面積.

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【題目】我們學(xué)習(xí)了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”.

觀察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;……發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù),且從3起就沒有間斷過.

(1)請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù):_______________________;

(2)若第一個數(shù)用字母n(n為奇數(shù),且n≥3)表示,則后兩個數(shù)用含n的代數(shù)式表示分別為___________________。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公園的門票價格是:成人20/張,學(xué)生10/張,滿40人可購買團(tuán)體票(票價均打八折).設(shè)一個共有x人的旅游團(tuán)去該公園游玩,其中學(xué)生有y.

(1)用含x,y的式子表示該旅游團(tuán)應(yīng)付的門票費(fèi);

(2)如果旅游團(tuán)有47人,其中學(xué)生有12人,那么他們應(yīng)付多少元門票費(fèi)?

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【題目】坐標(biāo)平面上,某二次函數(shù)圖形的頂點(diǎn)為(2,﹣1),此函數(shù)圖形與x軸相交于P、Q兩點(diǎn),且PQ=6.若此函數(shù)圖形通過(1,a)、(3,b)、(﹣1,c)、(﹣3,d)四點(diǎn),則a、b、c、d之值何者為正?( 。
A.a
B.b
C.c
D.d

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【題目】某市在城中村改造中,需要種植兩種不同的樹苗共棵,經(jīng)招標(biāo),承包商以萬元的報價中標(biāo)承包了這項(xiàng)工程,根據(jù)調(diào)查及相關(guān)資料表明, 、兩種樹苗的成本價及成活率如表:

品種

購買價(元/棵)

成活率

設(shè)種植種樹苗棵,承包商獲得的利潤為元.

)求之間的函數(shù)關(guān)系式.

)政府要求栽植這批樹苗的成活率不低于,承包商應(yīng)如何選種樹苗才能獲得最大利潤?最大利潤是多少?

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