Question

如圖，已知直線AB交兩坐標(biāo)于A、B兩點(diǎn)，且OA=OB=1，點(diǎn)P（a、b）是雙曲線y=

1

2x

上在第一象內(nèi)的點(diǎn)過點(diǎn)P作PM⊥x軸于M、PN⊥y軸于N．兩垂線與直線AB交于E、F．
（1）分別寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)（分別用a或b表示）；
（2）求△OEF的面積（結(jié)果用a、b表示）；
（3）△AOF與△BOE是否相似？請說明理由；
（4）當(dāng)P在雙曲線y=

1

2x

上移動時(shí)，△OEF隨之變動，觀察變化過程，△OEF三內(nèi)角中有無大小始終保持不變的內(nèi)角？若有，請指出它的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式，由點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)y=

1

2x

圖象上的點(diǎn)，得出b=

1

2a

，又點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為b即

1

2a

，分別把x=a，y=

1

2a

代入直線EF的解析式，即可求出對應(yīng)的值，從而得出結(jié)果；
（2）根據(jù)點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，分別表示出NF、ME、EP、FP的長度，然后利用S_△OEF=S_矩形OMPN-S_△ONF-S_△OME-S_△EPF，列式并進(jìn)行整理即可得到△OEF的面積；
（3）在△BOE與△AOF中，由于∠OBA=∠OAB=45°，根據(jù)相似三角形的判定，可分別計(jì)算BE：OB與OA：AF的值，如果它們相等，那么△AOF∽△BEO，否則，就不相似；
（4）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)外角的和得出∠FOE=∠EAO=45°．

解答：解：（1）設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，
由題知A（1，0），B（0，1），
把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，
得k+b=0，b=1，
解得k=-1，b=1．
∴y=-x+1．
∵點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)y=

1

2x

圖象上的點(diǎn)，
∴b=

1

2a

．
∴E（a，1-a），F(xiàn)（1-

1

2a

，

1

2a

）；

（2）∵點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為E（a，1-a），F(xiàn)（1-b，b），
∴NF=1-b，ME=1-a，EP=b-（1-a）=a+b-1，F(xiàn)P=a-（1-b）=a+b-1，
∵S_△OEF=S_矩形OMPN-S_△ONF-S_△OME-S_△EPF，
∴S_△OEF=ab-

1

2

×b（1-b）-

1

2

×a（1-a）-

1

2

×（a+b-1）×（a+b-1），
=

1

2

（a+b-1）；
即S_△OEF=

1

2

（a+b-1）；

（3）△AOF與△BOE一定相似．
理由如下：
∵OA=OB=1，
∴AB=

2

，∠OBA=∠OAB=45°，
∴AE=

2

AM=

2

（1-a），BF=

2

BN=

2

（1-

1

2a

），
∴BE=BA-AE=

2

a，AF=BA-BF=

2

2a

，
∴BE•AF=

2

2a

×

2

a=1，
又∵OA•OB=1×1=1，
∴BE•AF=OA•OB，
∴

BE

OB

=

OA

AF

，
又∵∠OBA=∠OAB=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（4）∠FOE=45°，角度始終不變．
理由如下：
∵△AOF∽△BEO，
∴∠FOA=∠OEB，
∴∠FOE+∠EOA=∠EOA+∠EAO，
得∠FOE=∠EAO=45°．

點(diǎn)評：本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定及性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的關(guān)系，通過解方程求交點(diǎn)坐標(biāo)等知識．綜合性強(qiáng)，有一定難度．