精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

【題目】如圖,直線y= x+4交于x軸于點A,交y軸于點C,過A、C兩點的拋物線F1交x軸于另一點B(1,0).

(1)求拋物線F1所表示的二次函數的表達式及頂點Q的坐標;
(2)在拋物線上是否存在點P,使△BPC的內心在y軸上,若存在,求出點P的坐標,若不存在寫出理由;
(3)直線y=kx﹣6與y軸交于點N,與直線AC的交點為M,當△MNC與△AOC相似時,求點M坐標.

【答案】
(1)解:令y=0代入y= x+4,解得:x=﹣3,

∴A(﹣3,0).

令x=0,代入y= x+4,得y=4,

∴C(0,4).

設拋物線F1的解析式為:y=a(x+3)(x﹣1),

把C(0,4)代入上式得,a=﹣

∴y=﹣ x2 x+4.

∴y=﹣ (x2+2x+1)+ ,

∴Q(﹣1, ).


(2)解:∵點B的坐標為(1,0),取點B關于y軸的對稱點B′(﹣1,0),連接CB′,則∠BCO=∠B′CO,

∴△BPC的內心在y軸上.

設直線B′C的解析式為y=kx+b,將點B′和點C的坐標代入得: ,

解得:k=4,b=4.

∴直線B′C的解析式為y=4x+4,

將y=4x+4與y=﹣ x2 x+4聯立得: ,

解得: (舍去).

∴點P的坐標為(﹣5,﹣16)


(3)解:N(0,﹣6),直線AC的表達式為y= x+4.

當△MNC∽△AOC時,∠CMN=90°.

∴直線MN的一次項系數為﹣

∴MN的解析式為y=﹣ x﹣6.

將y= x+4與y=﹣ x﹣6聯立,解得:

∴點M的坐標為(﹣ ,﹣ ).

②當∠CNM為直角時,MN∥x軸,

將y=﹣6代入y= x+4得: x+4=﹣6,解得:x=﹣

∴M(﹣ ,﹣6).

綜上所述,點M的坐標為(﹣ ,﹣ )或(﹣ ,﹣6)


【解析】(1)先求得點A和點C的坐標,然后利用待定系數法求得二次函數的額解析式,接下來,利用配方法求得拋物線的頂點坐標即可;
(2)取點B關于y軸的對稱點B′(-1,0),連接CB′,則∠BCO=∠B′CO,然后求得直線B′C的解析式為,然后將直線B′C的解析式與拋物線的解析式聯立可求得點P的坐標;
(3)當∠CMN=90°時,先求得直線MN的解析式,然后將直線AC與直線MN的解析式聯立可求得點點M的坐標;當∠CNM為直角時,MN∥x軸,再求得直線MN的解析式,然后將直線AC與直線MN的解析式聯立可求得點點M的坐標.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】春節(jié)期間,某商場計劃購進甲、乙兩種商品,已知購進甲商品2件和乙商品3件共需270元;購進甲商品3件和乙商品2件共需230元.
(1)求甲、乙兩種商品每件的進價分別是多少元?
(2)商場決定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,為滿足市場需求,需購進甲、乙兩種商品共100件,且甲種商品的數量不少于乙種商品數量的4倍,請你求出獲利最大的進貨方案,并求出最大利潤.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,點E是AD邊的中點.點M是AB邊上一動點(不與點A重合),延長ME交射線CD于點N,連接MD、AN.
(1)求證:四邊形AMDN是平行四邊形;
(2)填空:①當AM的值為時,四邊形AMDN是矩形; ②當AM的值為時,四邊形AMDN是菱形.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】九(1)班數學興趣小組經過市場調查,整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價與銷量的相關信息如下表:

時間x(天)

1≤x<50

50≤x≤90

售價(元/件)

x+40

90

每天銷量(件)

200﹣2x

已知該商品的進價為每件30元,設銷售該商品的每天利潤為y元.
(1)求出y與x的函數關系式;
(2)問銷售該商品第幾天時,當天銷售利潤最大,最大利潤是多少?
(3)該商品在銷售過程中,共有多少天每天銷售利潤不低于4800元?請直接寫出結果.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(m,m),點B的坐標為(n,﹣n),拋物線經過A、O、B三點,連接OA、OB、AB,線段AB交y軸于點C.已知實數m、n(m<n)分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根.

(1)求直線AB和OB的解析式.
(2)求拋物線的解析式.
(3)若點P為線段OB上的一個動點(不與點O、B重合),直線PC與拋物線交于D、E兩點(點D在y軸右側),連接OD、BD.問△BOD的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值并寫出此時點D的坐標;若不存在說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知AD是△ABC的高,∠BAC=60°,BD=2CD=2,試求AB的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,一架梯子AB長13米,斜靠在一面墻上,梯子底端離墻5米.(1)這個梯子的頂端距地面有多高?(2)如果梯子的頂端下滑了5米,那么梯子的底端在水平方向滑動了多少米?

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC為直徑的半圓交AB于點D,P是 上的一個動點,連接AP,則AP的最小值是

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】解方程(組):

1

2

3

4

查看答案和解析>>

同步練習冊答案