Question

如圖，直角梯形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9．
（1）CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接DP．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則當(dāng)t為何值時(shí)，△PDC為等腰三角形？
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位的速度沿著邊BA、AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．是否存在某一時(shí)刻t，使得以點(diǎn)P、Q、D、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四邊形ABED是矩形，
∴AD=BE=6，AB=DE=4，
∴CE=BC-BE=BC-AD=9-6=3，
在Rt△DEC中，DE=4，CE=3，AB==5，
故答案為：5；

（2）由題意得PC=9-t，PE=6-t．
當(dāng)CD=CP時(shí)，5=9-t，解得t=4；
當(dāng)CD=PD時(shí)，E為PC中點(diǎn)，
則6-t=3，
解得t=3；
當(dāng)PD=PC時(shí)，PD²=PC²，
則（6-t）²+4²=（9-t）²，解得t=；

（3）顯然，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，以點(diǎn)P、Q、D、C為頂點(diǎn)的四邊形不可能是平行四邊形；
當(dāng)點(diǎn)Q在AD上時(shí)，1≤t＜．
若四邊形PQDC為平行四邊形，則PC=DQ．
則9-t=10-4t，解得t=（不合題意，舍去）．
故不存在某一時(shí)刻t，使得以點(diǎn)P、Q、D、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
當(dāng)3≤t＜時(shí)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終存在某一時(shí)刻，使四邊形PQDC為平行四邊形．
分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，則四邊形ABED是矩形，所以AD=BE，AB=DE，在Rt△DEC中利用勾股定理即可求出CD的長(zhǎng)；
（2）由題意得PC=9-t，PE=6-t，因?yàn)椤鱌DC是等腰三角形所以CD=CP或CD=PD或PD=PC，在三種情況下分別求出t的值即可；
（3）存在某一時(shí)刻t，使得以點(diǎn)P、Q、D、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊，顯然當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，以點(diǎn)P、Q、D、C為頂點(diǎn)的四邊形不可能是平行四邊形；所以當(dāng)點(diǎn)Q在AD上時(shí)若若四邊形PQDC為平行四邊形，則PC=DQ．由此可求出時(shí)間t的值，而當(dāng)3≤t＜時(shí)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終存在某一時(shí)刻，使四邊形PQDC為平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)和平行四邊形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性不小，難度中等．