（2009•天水）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OEFG的頂點E的坐標為（4，0），頂點G的坐標為（0，2），將矩形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點F落在y軸的點N處，得到矩形OMNP，OM與GF交于點A．
（1）判斷△OGA和△OMN是否相似，并說明理由；
（2）求圖象經(jīng)過點A的反比例函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)（2）中的反比例函數(shù)圖象交EF于點B，求直線AB的解析式．

【答案】分析：（1）根據(jù)兩個角對應(yīng)相等，即可證明兩個三角形相似；
（2）要求反比例函數(shù)的解析式，則需求得點A的坐標，即要求得AG的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的兩個圖形全等的性質(zhì)以及相似三角形的對應(yīng)邊的比相等可以求解；
（3）要求直線AB的解析式，主要應(yīng)求得點B的坐標．根據(jù)點B的橫坐標是4和（2）中求得的反比例函數(shù)的解析式即可求得．再根據(jù)待定系數(shù)法進行求解．
解答：解：（1）△OGA∽△OMN，
理由：
∵∠OGA=∠M=90°，
∠GOA=∠MON
∴△OGA∽△OMN；

（2）由（1）得，
∴，
∴AG=1，
設(shè)反比例函數(shù)為y=（k不等于0），
把A（1，2）代入得k=2，
∴過點A的反比例函數(shù)的解析式為y=；

（3）∵點B的橫坐標為4，
把x=4代入y=中得y=，
故B（4，），
設(shè)直線AB的解析式是y=mx+n，
把A（1，2），B（4，）代入
得，
解得，
∴直線AB的解析式為y=．
點評：此題要求學(xué)生：
①能夠根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到對應(yīng)邊相等；
②掌握相似三角形的判定和性質(zhì)；
③能夠運用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的解析式確定點的坐標．
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（1）求這個二次函數(shù)的表達式．
（2）經(jīng)過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．
（4）如圖，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積．

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（1）求這個二次函數(shù)的表達式．
（2）經(jīng)過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．
（4）如圖，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積．

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