【題目】如圖,已知,正方形ABCD和一個(gè)圓心角為45°的扇形,圓心與A點(diǎn)重合,此扇形繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),兩半徑分別交直線BC、CD于點(diǎn)PK

1)當(dāng)點(diǎn)P、K分別在邊BCCD上時(shí),如圖(1),求證:BP+DKPK

2)當(dāng)點(diǎn)P、K分別在直線BCCD上時(shí),如圖(2),線段BP、DK、PK之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)直接寫出結(jié)論.

3)在圖(3)中,作直線BD交直線APAKM、Q兩點(diǎn).若PK5,CP4,求PM的長(zhǎng).

【答案】1)證明見解析;(2BPDK+PK,理由見解析;(3PM的長(zhǎng)是

【解析】

1)延長(zhǎng)CDN,使DN=BP,連接AN,根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定SAS證△ABP≌△ADN,推出AN=AP,∠NAD=PAB,求出∠NAK=KAP=45°,根據(jù)SAS證△NAK和△KAP全等即可;
2)在BC上截取BN=DK,連接AN,與(1)類似證△ADK≌△ABN和△KAP≌△NAP,推出BN=DK,NP=PK即可;
3)在DC上截取DN=BP,連接AN,與(1)類似證△ADN≌△ABP和△KAP≌△KAN,推出BP=DN,NK=PK,得出DK=PB+PK,求出正方形的邊長(zhǎng),根據(jù)勾股定理求出AN、AK、AP,求出∠ABM=ACK=135°,∠PAB=CAK,證△MAB和△KAC相似,得出比例式,代入求出即可.

1)證明:延長(zhǎng)CDN,使DNBP,連接AN,

∵正方形ABCD,

∴∠ABP=∠ADC90°=∠BAD,ADAB

∴∠ADN90°=∠ABP,

ABPADN

,

∴△ABP≌△ADN

ANAP,∠NAD=∠PAB

∵∠BAD90°,∠PAK45°,

∴∠BAP+KAD45°,

∴∠NAD+DAK45°

即∠NAK=∠KAP45°,

NAKKAP

,

∴△PAK≌△NAK,

NKKP

BP+DKPK

2)解:BPDK+PK

理由是:在BC上截取BNDK,連接AN,

與(1)類似ADK≌△ABN,

AKAN,∠KAD=∠BAN,

∵∠KAP45°,

∴∠NAB+DAP45°,

∴∠NAP90°45°45°=∠KAP,

與(1)類似KAP≌△NAPSAS),

PKPN,

BPBN+NPDK+PK,

BPDK+PK

3)解:在CPK中,CP4,PK5,由勾股定理得:CK3

DC上截取DNBP,連接AN,

由(1)可知:ANAP,

與(2)證法類似NAK≌△PAK,

PKNK

DKPB+PK

DC+34BC+5,

∵正方形ABCD,DCBC,

解得:ADDCBCAB3,

連接AC,

∵正方形ABCD,

∴∠ACB=∠DBC=∠MBP45°,

∵∠ABC=∠PCK90°,

∴∠ABM=∠ACK45°+90°135°,

RtABC中,由勾股定理得:AC3,

RtABP中,由勾股定理得:AP,

RtADK中,由勾股定理得:AK3,

∵∠PAK=∠BAC45°,∠BAK=∠BAK,

∴∠PAB=∠KAC,

∵∠ABM=∠ACK,

∴△MAB∽△KAC,

,

解得:PM,

答:PM的長(zhǎng)是

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】一不透明的布袋里,裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球(除顏色外其余都相同),其中有紅球2個(gè),藍(lán)球1個(gè),黃球若干個(gè),現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為

(1)求口袋中黃球的個(gè)數(shù);

(2)甲同學(xué)先隨機(jī)摸出一個(gè)小球(不放回),再隨機(jī)摸出一個(gè)小球,請(qǐng)用“樹狀圖法”或“列表法”,

求兩次摸 出都是紅球的概率;

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【題目】某學(xué)校開展以素質(zhì)提升為主題的研學(xué)活動(dòng),推出了以下四個(gè)項(xiàng)目供學(xué)生選擇:A.模擬駕駛;B.軍事競(jìng)技;C.家鄉(xiāng)導(dǎo)游;D.植物識(shí)別.學(xué)校規(guī)定:每個(gè)學(xué)生都必須報(bào)名且只能選擇其中一個(gè)項(xiàng)目.八年級(jí)(3)班班主任寧老師對(duì)全

班學(xué)生選擇的項(xiàng)目情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖中的信息,解決下列問題:

(1)八年級(jí)(3)班學(xué)生總?cè)藬?shù)是多少,并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

(2)寧老師發(fā)現(xiàn)報(bào)名參加“植物識(shí)別”的學(xué)生中恰好有兩名男生,現(xiàn)準(zhǔn)備從這組學(xué)生中任意挑選兩名擔(dān)任活動(dòng)記錄員,那么恰好選1名男生和1名女生擔(dān)任活動(dòng)記錄員的概率;

(3)若學(xué)校學(xué)生總?cè)藬?shù)為2000人,根據(jù)八年級(jí)(3)班的情況,估計(jì)全校報(bào)名軍事競(jìng)技的學(xué)生有多少人?

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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,過點(diǎn)B作⊙O的切線BM,點(diǎn)A,CD分別為⊙O的三等分點(diǎn),連接AC,AD,DC,延長(zhǎng)ADBM于點(diǎn)ECDAB于點(diǎn)F

(1)求證:CDBM;

(2)連接OE,若DEm,求OBE的周長(zhǎng).

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【題目】小翔在如圖1所示的場(chǎng)地上勻速跑步,他從點(diǎn)A出發(fā),沿箭頭所示方向經(jīng)過點(diǎn)B跑到點(diǎn)C,共用時(shí)30秒.他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小翔的跑步過程.設(shè)小翔跑步的時(shí)間為t(單位:秒),他與教練的距離為y(單位:米),表示yt的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示,則這個(gè)固定位置可能是圖1中的( )

A. 點(diǎn)M B. 點(diǎn)N C. 點(diǎn)P D. 點(diǎn)Q

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【題目】如圖,拋物線的圖象與x軸交于AB兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).

1)求AB、C的坐標(biāo);

2)點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)Mx軸的垂線,與直線AC交于點(diǎn)E,與拋物線交于點(diǎn)P,過點(diǎn)PPQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)QQN⊥x軸于點(diǎn)N.若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊,當(dāng)矩形PQMN的周長(zhǎng)最大時(shí),求△AEM的面積;

3)在(2)的條件下,當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí),連接DQ.過拋物線上一點(diǎn)Fy軸的平行線,與直線AC交于點(diǎn)G(點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方).FG=DQ,求點(diǎn)F的坐標(biāo).

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【題目】現(xiàn)有三張分別畫有正三角形、平行四邊形、菱形圖案的卡片,它們除圖案外完全相同,把卡片背面朝上洗勻,從中隨機(jī)抽取一張后放回,再背面朝上洗勻,從中隨機(jī)抽取一張,則兩次抽出的每一張卡片的圖案既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率是_____

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【題目】如圖所示是一張簡(jiǎn)易活動(dòng)餐桌,測(cè)得OA=OB=30cm,OC=OD=50cm,現(xiàn)要求桌面離地面的高度為40cm,那么兩條桌腳的張角∠COD的度數(shù)大小應(yīng)為( )

A. 100° B. 120° C. 135° D. 150°

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【題目】問題:如圖(1),點(diǎn)EF分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°試判斷BE、EFFD之間的數(shù)量關(guān)系.

【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請(qǐng)你利用圖(1)證明上述結(jié)論.

【類比引申】如圖(2),四邊形ABCD中,∠BAD≠90°AB=AD,B+D=180°,點(diǎn)EF分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足  關(guān)系時(shí),仍有EF=BE+FD;請(qǐng)證明你的結(jié)論.

【探究應(yīng)用】如圖(3),在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°ADC=120°,BAD=150°,道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F,且AEAD,DF=401米,現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長(zhǎng).(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73

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