Question

【題目】長(zhǎng)江汛期即將來(lái)臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈A射線(xiàn)自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線(xiàn)自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且a、b滿(mǎn)足|a-3b|+（a+b-4）=0．假定這一帶長(zhǎng)江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°

（1）求a、b的值；

（2）若燈B射線(xiàn)先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線(xiàn)才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線(xiàn)到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？

（3）如圖2，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線(xiàn)到達(dá)AN之前．若射出的光束交于點(diǎn)C，過(guò)C作CD⊥AC交PQ于點(diǎn)D，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)求出其取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a=3，b=1；（2）A燈轉(zhuǎn)動(dòng)10秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（3）∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，2∠BAC＝3∠BCD.

【解析】

（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程組求解即可；

（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況：①在燈A射線(xiàn)到達(dá)AN之前；②在燈A射線(xiàn)到達(dá)AN之后，分別列出方程求解即可；

（3）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則∠CAN＝180°3t，∠BAC＝∠BAN∠CAN＝3t135°，過(guò)點(diǎn)C作CF∥PQ，則CF∥PQ∥MN，得出∠BCA＝∠CBD＋∠CAN＝180°2t，∠BCD＝∠ACD∠BCA＝2t90°，即可得出結(jié)果．

解：（1）∵|a-3b|+（a+b-4）=0，

∴，

解得：，

故a=3，b=1；

（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，

①在燈A射線(xiàn)到達(dá)AN之前，由題意得：3t＝（20＋t）×1，

解得：t＝10，

②在燈A射線(xiàn)到達(dá)AN之后，由題意得：3t180°＝180°（20＋t）×1，

解得：t＝85，

綜上所述，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)10秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；

（3）∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，2∠BAC＝3∠BCD；

理由：設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則∠CAN＝180°3t，

∴∠BAC＝∠BAN∠CAN＝45°（180°3t）＝3t135°，

∵PQ∥MN，

如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF∥PQ，則CF∥PQ∥MN，

∴∠BCF＝∠CBD，∠ACF＝∠CAN，

∴∠BCA＝∠BCF＋∠ACF＝∠CBD＋∠CAN＝t＋180°3t＝180°2t，

∵CD⊥AC，

∴∠ACD＝90°，

∴∠BCD＝∠ACD∠BCA＝90°（180°2t）＝2t90°，

∴2∠BAC＝3∠BCD.