Question

觀察下列各式：
（x²-1）÷（x-1）=x+1
（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1
（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1
（x⁵-1）÷（x-1）=x⁴+x³+x²+x+1
…
（1）寫出（x⁶-1）÷（x-1）的結果；
（2）將x⁶-1表示成兩個多項式乘積的形式．

Answer 1

解：（1）∵（x²-1）÷（x-1）=x+1，
（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1，
（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1，
（x⁵-1）÷（x-1）=x⁴+x³+x²+x+1，
∴（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+…+1，
∴（x⁶-1）÷（x-1）=x⁵+x⁴+x³+x²+x+1；

（2）∵（x⁶-1）÷（x-1）=x⁵+x⁴+x³+x²+x+1，
∴x⁶-1=（x-1）（x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）．
分析：（1）觀察各式，可得出規(guī)律（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+…+1，再將n=6代入即可得出結果；
（2）根據整式乘除法與因式分解互為逆變形的關系，即可求解．
點評：本題考查了整式的除法，關鍵在于根據各式發(fā)現規(guī)律（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+…+1．