Question

已知等腰直角三角形ABC的腰長為4，半圓的直徑在△ABC的邊上，且半圓的弧與△ABC的其他兩邊相切，則半圓的半徑為             

Answer 1

2或﹣4+．

 解：①∵半圓的直徑在△ABC的斜邊上，且半圓的弧與△ABC的兩腰相切，切點為D、E，

如圖，連接OD，OA，

∵AB與⊙O相切，

∴OD⊥AB，

∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O為BC的中點，

∴AO⊥BC，

∴OD∥AC，

∵O為BC的中點，

∴OD=AC=2．

②∵半圓的直徑在△ABC的腰上，且半圓的弧與△ABC的斜邊相切，切點為D，

如圖2，連接OD，設(shè)半圓的半徑為r，

∴OB=4﹣r，

∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，

∴∠B=45°，

∴△OBD是等腰直角三角形，

∴OD=BD=r，

∴2r²=（4﹣r）²，解得r=﹣4+4，r=﹣4﹣4（舍去），

故答案為2或﹣4+4．