【題目】(發(fā)現(xiàn)與思考)如圖①∠ACB=∠ADB90°那么點(diǎn)D在經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的圓上,如圖②,如果∠ACB=∠ADBαα≠90°)(點(diǎn)C,DAB的同側(cè)),那么點(diǎn)D還在經(jīng)過AB,C三點(diǎn)的圓上?

(應(yīng)用)若四邊形ABCD中,ADBC,∠CAD90°,點(diǎn)E在邊AB上,CEDE

1)作∠ADF=∠AED,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F(如圖④),求證:DFRtACD的外接圓的切線;

2)如圖⑤,點(diǎn)GBC的延長(zhǎng)線上,∠BGE=∠BAC,已知sinAED,AD1,求DG的長(zhǎng).

【答案】發(fā)現(xiàn)與思考:點(diǎn)D即不在⊙O內(nèi),也不在⊙O外,點(diǎn)D在⊙O上;應(yīng)用:(1)見解析;(2DG2

【解析】

發(fā)現(xiàn)與思考:假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi),利用圓周角定理及三角形外角的性質(zhì),可證得與條件相矛盾的結(jié)論,從而可得點(diǎn)D在⊙O上;
應(yīng)用:(1)作出RtACD的外接圓,由發(fā)現(xiàn)與思考可得點(diǎn)E在⊙O上,則可證得∠ACD=∠FDA,又因?yàn)椤?/span>ACD+∠ADC90°,于是有∠FDA+∠ADC90°,即可證得DFRtACD的外接圓的切線;
2)根據(jù)發(fā)現(xiàn)與思考可得點(diǎn)G在過C、A、E三點(diǎn)的圓上,即⊙O,進(jìn)而易證四邊形ACGD是矩形,根據(jù)已知條件解直角三角形ACD可得AC的長(zhǎng),即DG的長(zhǎng).

解:發(fā)現(xiàn)與思考:如圖1,假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi),延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)E,連接BE,則∠AEB=∠ACB

∵∠ADB是△BDE的外角,

∴∠ADB>∠AEB,

∴∠ADB>∠ACB,

因此,∠ADB>∠ACB與條件∠ACB=∠ADB矛盾,

所以點(diǎn)D也不在⊙O內(nèi),

因?yàn)辄c(diǎn)D即不在⊙O內(nèi),也不在⊙O外,

所以點(diǎn)D在⊙O上;

應(yīng)用:(1)如圖2,取CD的中點(diǎn)O,則點(diǎn)ORtACD的外心,

∵∠CAD=∠DEC90°

∴點(diǎn)E在⊙O上,

∴∠ACD=∠AED,

∵∠FDA=∠AED,

∴∠ACD=∠FDA

∵∠DAC90°,

∴∠ACD+ADC90°,

∴∠FDA+ADC90°,

ODDF

DFRtACD的外接圓的切線;

2)∵∠BGE=∠BAC,

∴點(diǎn)G在過CA、E三點(diǎn)的圓上,如圖3

又∵過C、AE三點(diǎn)的圓是RtACD的外接圓,即⊙O

∴點(diǎn)G在⊙O上,

CD是直徑,

∴∠DGC90°,

ADBC,

∴∠ADG90°

∵∠DAC90°

∴四邊形ACGD是矩形,

DGAC,

sinAED,∠ACD=∠AED,

sinACD

RtACD中,AD1,

CD3,

AC ,

DGAC

練習(xí)冊(cè)系列答案
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3)在圖中用直尺和2B鉛筆畫出兩個(gè)矩形(不寫畫法),要求每個(gè)矩形均需滿足下列兩個(gè)條件:

①四個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,且其中兩個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn)O,點(diǎn)P;

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(1)若顧客選擇方式一,則享受9折優(yōu)惠的概率為多少;

(2)若顧客選擇方式二,請(qǐng)用樹狀圖或列表法列出所有可能,并求顧客享受8折優(yōu)惠的概率.

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