Question

【題目】注意：為了使同學(xué)們更好地解答本題的第（Ⅱ）問(wèn)，我們提供了一種分析問(wèn)題的方法，你可以依照這個(gè)方法按要求完成本題的解答，也可以選用其他方法，按照解答題的一般要求進(jìn)行解答即可．

如圖，將一個(gè)矩形紙片，放置在平面直角坐標(biāo)系中，，，，是邊上一點(diǎn)，將沿直線折疊，得到．

（Ⅰ）當(dāng)平分時(shí)，求的度數(shù)和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）連接，當(dāng)時(shí)，求的面積；

（Ⅲ）當(dāng)射線交線段于點(diǎn)時(shí)，求的最大值．（直接寫(xiě)出答案）

在研究第（Ⅱ）問(wèn)時(shí)，師生有如下對(duì)話：

師：我們可以嘗試通過(guò)加輔助線，構(gòu)造出直角三角形，尋找方程的思路來(lái)解決問(wèn)題．

小明：我是這樣想的，延長(zhǎng)與軸交于點(diǎn)，于是出現(xiàn)了．

小雨：我和你想的不一樣，我過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，出現(xiàn)了兩個(gè)．

Answer 1

【答案】（I），；（II）；（III）的最大值為．

【解析】

（Ⅰ）由折疊的性質(zhì)得：△ANM≌△ADM，由角平分線結(jié)合得：∠BAM=∠MAN=∠NAB=30°，由特殊角的三角函數(shù)可求DM的長(zhǎng)，寫(xiě)出M的坐標(biāo)；

（Ⅱ）如圖2，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，設(shè)NQ=x，則AQ=MQ=1+x，在Rt△ANQ中，由勾股定理列等式可得關(guān)于x的方程：（x+1）2=32+x2，求出x，得出AB是AQ的，即可得出△NAQ和△NAB的關(guān)系，得出結(jié)論；

（III）如圖3，過(guò)A作AH⊥BF于H，證明△ABH∽△BFC，得，Rt△AHN中，AH≤AN=3，AB=4，可知：當(dāng)點(diǎn)N、H重合（即AH=AN）時(shí)，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此時(shí)點(diǎn)M、F重合，B、N、M三點(diǎn)共線，如圖4所示，求此時(shí)DF的長(zhǎng)即可．

（I）如圖

，，，

，，

由折疊得：，

，

平分，

，

，

四邊形是矩形，

，

，

，

，；

（II）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

四邊形是矩形，

，

，

由折疊得：，

，，，

，

，

設(shè)，則，

，

，

在中，由勾股定理得：，

，

解得：，

，，

，，

；

（III）如圖3，過(guò)作于，

四邊形是矩形，

，

，

，

，

中，，，

當(dāng)點(diǎn)、重合（即）時(shí)，最大，最小，最小，最大，此時(shí)點(diǎn)、重合，、、三點(diǎn)共線，如圖4所示，

由折疊得：，

，

，

在和中，

，

，

，

由勾股定理得：，

，

的最大值為．