Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（3，0）、C（0，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-5，0），點(diǎn)P是直線(xiàn)AC上的一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)DP與軸交于點(diǎn)M，問(wèn)：

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何位置時(shí)，直線(xiàn)DP平分矩形OABC的面積，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由，并求出此時(shí)直線(xiàn)DP的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P沿直線(xiàn)AC移動(dòng)時(shí)，是否存在使△DOM與△ABC相似的點(diǎn)M，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P沿直線(xiàn)AC移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、半徑長(zhǎng)為R（R＞0）畫(huà)圓，所得到的圓稱(chēng)為動(dòng)圓P，若設(shè)動(dòng)圓P的直徑長(zhǎng)為AC，過(guò)點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，請(qǐng)?zhí)角笫欠翊嬖谒倪呅蜠EPF的最小面積S，若存在，請(qǐng)求出S的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
注：第（3）問(wèn)請(qǐng)用備用圖解答

Answer 1

解：（1）連結(jié)BO與AC交于點(diǎn)H，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H時(shí)， 直線(xiàn)DP平分矩形OABC的面積，理由如下： ∵矩形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，且點(diǎn)H為矩形的對(duì)稱(chēng)中心， 又據(jù)經(jīng)過(guò)中心對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)稱(chēng)中心的任一直線(xiàn)平分此中心對(duì)稱(chēng)圖形的面積， 因?yàn)橹本�(xiàn)DP過(guò)矩形OABC的對(duì)稱(chēng)中心點(diǎn)H， 所以直線(xiàn)DP平分矩形OABC的面積， 由已知可得此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 設(shè)直線(xiàn)的函數(shù)解析式為y=kx+b， 則有，解得， 所以，直線(xiàn)DP的函數(shù)解析式為：； （2）存在點(diǎn)使得與相似， 如圖，不妨設(shè)直線(xiàn)DP與y軸的正半軸交于點(diǎn)M（0，）， 因?yàn)椤螪OM=∠ABC，若△DOM與△ABC相似， 則有或， 當(dāng)時(shí)，即，解得， 所以點(diǎn)M1（0，）滿(mǎn)足條件， 當(dāng)時(shí)，即，解得， 所以點(diǎn)滿(mǎn)足條件， 由對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)也滿(mǎn)足條件， 綜上所述，滿(mǎn)足使與相似的點(diǎn)有3個(gè)， 分別為、； （3）如圖，過(guò)D作DP⊥AC于點(diǎn)P，以P為圓心，半徑長(zhǎng)為畫(huà)圓， 過(guò)點(diǎn)D分別作的切線(xiàn)DE、DF，點(diǎn)E、F是切點(diǎn)， 除P點(diǎn)外在直線(xiàn)AC上任取一點(diǎn)P1，半徑長(zhǎng)為畫(huà)圓， 過(guò)點(diǎn)D分別作的切線(xiàn)DE1、DF1，點(diǎn)E1、F1是切點(diǎn)， 在△DEP和△DFP中，∠PED=∠PFD，PF=PE，PD=PD， ∴△DPE≌△DPF， ∴S四邊形DEPF=2S△DPE=2×， ∴當(dāng)DE取最小值時(shí)，S四邊形DEPF的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由點(diǎn)P1的任意性知：DE是點(diǎn)與切點(diǎn)所連線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值， 在△ADP與△AOC中，∠DPA=∠AOC，∠DAP=∠CAO， ∴△ADP∽△AOC ∴，即， ∴， ∴， ∴S四邊形DEPF=，即S=。