Question

如圖，已知點P是拋物線y=

1

4

x2+1上的任意一點，記點P到X軸距離為d₁，點P與點F（0，2）的距離為d₂
（1）證明d₁=d₂；
（2）若直線PF交此拋物線于另一點Q（異于P點），試判斷以PQ為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)解析式用1個未知數(shù)t表示出P的坐標，進而表示出P到x軸與到點F的距離，化簡可出兩者大小相等；
（2）由（1）的結(jié)論，找PQ的中點到x軸的距離與PQ的大小關(guān)系，容易證得兩者相等；故以PQ為直徑的圓與x軸相切．

解答：解：（1）設(shè)P為拋物線上一點，
故P的坐標為（t，

1

4

t²+1）；
則P到X軸距離d₁=

1

4

t²+1，
P到點F（0，2）的距離為d₂為

t2+( 1 4 t2-1)2

；
化簡可得d₁=d₂．

（2）相切：
設(shè)Q到x軸的距離為m，到F的距離為n，
根據(jù)（1）的結(jié)論，有m=n，
過PQ的中點作x的垂線，設(shè)其長度為h，
易得h=

1

2

（m+d₁），
同時有PQ=（n+d₂）=（m+d₁），
為h的2倍，
故以PQ為直徑的圓與x軸相切．

點評：本題二次函數(shù)的性質(zhì)與運用．