Question

【題目】如圖，在△BCE中，∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，在邊AB上取點D，在CA的延長線上取點E，使ACCE+ABBD=BC2

求證：（1）∠CEB＞∠ABC；

（2）BE=2CD．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）延長CE到F，使EF=2BD，由∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，可得∠ACB=90°，又ACCE+ABBD=BC2，等量代換可得AC（CE+2BD）=BC2，即 ，則△ABC∽△BFC，∠ABC=∠F，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可證得；（2）∠F=30°，則BF=2BC，易證△EFB∽△DBC，即可證得BE=2CD．

證明：（1）延長CE到F，使EF=2BD，

∵在△BCE中，∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，

∴∠ACB=90°，∠ABC=30°，∠CAB=60°，

∴AB=2AC，

∵ACCE+ABBD=BC2，

∴AC（CE+2BD）=BC2，

∴AC×CF=BC2，

即，

∴△ABC∽△BFC，

∴∠ABC=∠F=30°，

∵∠CEB＞∠F，

∴∠CEB＞∠ABC；

（2）∵∠F=30°，∠FCB=90°，

∴FB=2BC，又∠F=∠CBD，EF=2BD，

∴△EFB∽△DBC，

∴，

∴BE=2CD．