Question

如圖，已知拋物線過A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），且3AB=4OC．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的關(guān)系式，并求出這個二次函數(shù)的最大值．

Answer 1

分析：（1）先得到OA=1，OB=3，則AB=4，再利用3AB=4OC得到OC=3，可得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；
（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x-3），把C點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出a的值為-1，則二次函數(shù)的解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，然后利用二次函數(shù)的最值問題可確定此二次函數(shù)的最大值為4．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴AB=4，
∵3AB=4OC，
∴OC=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；

（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得a×1×（-3）=3，
解得a=-1，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，
∵a=-1＜0，
∴當(dāng)x=-

2

2×(-1)

=1時，y_最大值=

4×(-1)×3-22

4×(-1)

=4．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂）（其中a≠0，x₁，x₂為拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)），再把函數(shù)圖象上第三個點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到關(guān)于a的方程組，解方程求出a的值，從而確定二次函數(shù)的解析式．也考查了二次函數(shù)的最值問題．