已知:在矩形A0BC中,分別以OB,OA所在直線為x軸和y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.E是邊AC上的一個動點(不與A,C重合),過E點的反比例函數(shù)y=
k
x
(k>0)
的圖象與BC邊交于點F.
(1)若△OAE、△OBF的面積分別為S1、S2且S1+S2=2,求k的值;
(2)若OB=4,OA=3,記S=S△OEF-S△ECF問當點E運動到什么位置時,S有最大值,其最大值為多少?
(3)請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點E,使得將△CEF沿EF對折后,C點恰好落在OB上?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.
(1)∵點E、F在函數(shù)y=
k
x
(k>0)的圖象上,
∴設E(x1,
k
x1
),F(xiàn)(x2,
k
x2
),x1>0,x2>0,
S1=
1
2
x1
k
x1
=
K
2
,S2=
1
2
x2
k
x2
=
K
2
,
∵S1+S2=2,
K
2
+
K
2
=2,
∴k=2;

(2)由題意知:E,F(xiàn)兩點坐標分別為E(
k
3
,3)
,F(4,
k
4
)

S△ECF=
1
2
EC•CF=
1
2
(4-
1
3
k)(3-
1
4
k)
,
∴S△EOF=S矩形AOBC-S△AOE-S△BOF-S△ECF
=12-
1
2
k-
1
2
k-S△ECF,
=12-k-S△ECF
∴S=S△OEF-S△ECF,
=12-k-2S△ECF,
=12-k-2×
1
2
(4-
1
3
k)(3-
1
4
k),
S=-
1
12
k2+k

k=-
1
2×(-
1
12
)
=6
時,S有最大值.S最大值=
-1
4×(-
1
12
)
=3

此時,點E坐標為(2,3),即點E運動到AC中點.

(3)設存在這樣的點E,將△CEF沿EF對折后,C點恰好落在OB邊上的M點,過點E作EN⊥OB,垂足為N.
由題意得:EN=AO=3,EM=EC=4-
1
3
k
,MF=CF=3-
1
4
k

∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°,
∴∠EMN=∠MFB.
又∵∠ENM=∠MBF=90°,
∴△ENM△MBF.
EN
MB
=
EM
MF
,
3
MB
=
4-
1
3
k
3-
1
4
k
=
4(1-
1
12
k)
3(1-
1
12
k)
,
MB=
9
4

∵MB2+BF2=MF2,
(
9
4
)2+(
k
4
)2=(3-
1
4
k)2
,
解得k=
21
8

EM=EC=4-
k
3
=
25
8

故AE=
7
8

∴存在符合條件的點E,它的坐標為(
7
8
,3).
練習冊系列答案
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k
x
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(3)求反比例函數(shù)的解析式.

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k
x
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MB
MQ
,q=
MA
MP
,則p-q的值為______.

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數(shù)學家帕普斯借助函數(shù)給出一種“三等分銳角”的方法,步驟如下:
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②邊OA與函數(shù)y=
1
x
(x>0)
的圖象交于點P,以P為圓心,2倍OP的長為半徑作弧,在∠AOB內(nèi)部交函數(shù)y=
1
x
(x>0)
的圖象于點R;
③過點P作x軸的平行線,過點R作y軸的平行線,兩直線相交于點M,連結(jié)OM.則∠MOB=
1
3
∠AOB.
請根據(jù)以上材料,完成下列問題:

(1)應用上述方法在圖1中畫出∠AOB的三等分線OM;
(2)設P(a,
1
a
),R(b,
1
b
)
,求直線OM對應的函數(shù)表達式(用含a,b的代數(shù)式表示);
(3)證明:∠MOB=
1
3
∠AOB;
(4)應用上述方法,請嘗試將圖2所示的鈍角三等分.

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k
x
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k
x
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(2)當S=
9
2
時,求點P的坐標.

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k
x
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4
3
,則k=______.

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