Question

如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，那么由求根公式可知，x1=

-b+ b2-4ac

2a

，x2=

-b- b2-4ac

2a

．
于是有x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1•x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

綜上得，設ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

這是一元二次方程根與系數(shù)的關系，我們可以利用它來解題，例x₁，x₂是方程x²+6x-3=0的兩根，求x₁²+x₂²的值．解法可以這樣：∵x₁+x₂=-6，x₁x₂=-3，則

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x^)2-2x1x2=（-6）²-2×（-3）=42．
請你根據(jù)以上材料解答下列題：
（1）若x²+bx+c=0的兩根為1和3，求b和c的值．
（2）已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的兩根，求（x₁-x₂）²的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩根之積公式和兩根之和公式列方程即可求出b和c的值；
（2）欲求（x₁-x₂）²的值，根據(jù)（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，然后利用根與系數(shù)的關系，代入數(shù)值計算即可．

解答：解：（1）∵x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

，
∴1+3=-b，1×3=c
∴b=-4，c=3；
（2）∵x₁+x₂=4，x₁x₂=2，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4²-4×2=8．

點評：將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．