【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(﹣3,0)、B(5,0)、C(0,5)三點,O為坐標(biāo)原點
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若把拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移個單位長度,再向右平移n(n>0)個單位長度得到新拋物線,若新拋物線的頂點M在△ABC內(nèi),求n的取值范圍;
(3)設(shè)點P在y軸上,且滿足∠OPA+∠OCA=∠CBA,求CP的長.
【答案】(1)y=﹣x2+x+5;(2)0<n<3;(3)PC的長為7或17.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)A、B、C三點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式即可;(2)可先求得拋物線的頂點坐標(biāo),再利用坐標(biāo)平移,可得平移后的坐標(biāo)為(1+n,1),再由B、C兩點的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式,可求得y=1時,對應(yīng)的x的值,從而可求得n的取值范圍;(3)當(dāng)點P在y軸負(fù)半軸上和在y軸正半軸上兩種情況,根據(jù)這兩種情況分別求得PC的長即可.
試題解析:(1)把A、B、C三點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可得,
解得,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+5;
(2)∵y=﹣x2+x+5,
∴拋物線頂點坐標(biāo)為(1,),
∴當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移個單位長度,再向右平移n(n>0)個單位長度后,得到的新拋物線的頂點M坐標(biāo)為(1+n,1),
設(shè)直線BC解析式為y=kx+m,把B、C兩點坐標(biāo)代入可得,解得,
∴直線BC的解析式為y=﹣x+5,
令y=1,代入可得1=﹣x+5,解得x=4,
∵新拋物線的頂點M在△ABC內(nèi),
∴1+n<4,且n>0,解得0<n<3,
即n的取值范圍為0<n<3;
(3)當(dāng)點P在y軸負(fù)半軸上時,如圖1,過P作PD⊥AC,交AC的延長線于點D,
由題意可知OB=OC=5,
∴∠CBA=45°,
∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°,
∴AD=PD,
在Rt△OAC中,OA=3,OC=5,可求得AC=,
設(shè)PD=AD=m,則CD=AC+AD=+m,
∵∠ACO=∠PCD,∠COA=∠PDC,
∴△COA∽△CDP,
∴,即,
解得m=,PC=17;
可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12,
如圖2,在y軸正半軸上截取OP′=OP=12,連接AP′,
則∠OP′A=∠OPA,
∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA,
∴P′也滿足題目條件,此時P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7,
綜上可知PC的長為7或17.
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【題目】觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式:
2×0+1=12①,
4×2+1=32②,
8×6+1=72③,
16×14+1=152④,
根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題:
(1)完成第五個等式:32× +1= ;
(2)寫出你猜想的第n個等式(用含n的式子表示),并驗證其正確性.
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【題目】(2016湖北襄陽第25題)
如圖,已知點A的坐標(biāo)為(-2,0),直線y=-+3與x軸,y軸分別交于點B和點C,連接AC,頂點為D的拋物線y=ax2+bx+c過A,B,C三點.
(1)請直接寫出B,C兩點的坐標(biāo),拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E,P為第一象限內(nèi)拋物線上一點,過點P作x軸的垂線,交線段BC于點F若四邊形DEFP為平行四邊形,求點P的坐標(biāo);
(3)設(shè)點M是線段BC上的一動點,過點M作MN∥AB,交AC于點N點.Q從點B出發(fā),以每秒l個單位長度的速度沿線段BA向點A運動,運動時間為t(秒).當(dāng)t(秒)為何值時,存在QMN為等腰直角三角形?
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【題目】一元二次方程x2﹣4x=12的根是( )
A.x1=2,x2=﹣6
B.x1=﹣2,x2=6
C.x1=﹣2,x2=﹣6
D.x1=2,x2=6
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【題目】下列一元二次方程中有兩個相等實數(shù)根的是( )
A.2x2﹣6x+1=0
B.3x2﹣x﹣5=0
C.x2+x=0
D.x2﹣4x+4=0
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【題目】某校在民族團(tuán)結(jié)宣傳活動中,采用了四種宣傳形式:A唱歌,B舞蹈,C朗誦,D器樂.全校的每名學(xué)生都選擇了一種宣傳形式參與了活動,小明對同學(xué)們選用的宣傳形式,進(jìn)行了隨機抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果,繪制了如圖兩種不完整的統(tǒng)計圖表:
選項 | 方式 | 百分比 |
A | 唱歌 | 35% |
B | 舞蹈 | a |
C | 朗誦 | 25% |
D | 器樂 | 30% |
請結(jié)合統(tǒng)計圖表,回答下列問題:
(1)本次調(diào)查的學(xué)生共 人,a= ,并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)如果該校學(xué)生有2000人,請你估計該校喜歡“唱歌”這種宣傳形式的學(xué)生約有多少人?
(3)學(xué)校采用調(diào)查方式讓每班在A、B、C、D四種宣傳形式中,隨機抽取兩種進(jìn)行展示,請用樹狀圖或列表法,求某班抽到的兩種形式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率.
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